目次
Ⅰ
(1)
\[\begin{aligned} x&=\dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2}\cdot\dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3-\sqrt2}\\ &=\dfrac{3-2\sqrt6+2}{3-2}\\ &=\dfrac{5-2\sqrt6}{1}\\ &=5-2\sqrt6 \end{aligned}\] \[y=5+2\sqrt6\] \[\begin{aligned} &x^2-y^2\\ =&(x+y)(x-y)\\ =&(5-2\sqrt6+5+2\sqrt6)(5-2\sqrt6-5-2\sqrt6)\\ =&10\cdot(-4\sqrt6)\\ =&-40\sqrt6 \end{aligned}\]
(2)
\[\begin{aligned} &\sqrt{x^2-4x+4}\\ =&\sqrt{(x-2)^2}\\ =&|x-2| \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} &\sqrt{x^2+4x+4}\\ =&\sqrt{(x+2)^2}\\ =&|x+2| \end{aligned}\]
よって、$y=|x-2|-|x+2|$である。
$x\lt -2$のとき、 \[\begin{aligned} y&=|x-2|-|x+2|\\ &==(x-2)+(x+2)\\ &=-x+2+x+2\\ &=4 \end{aligned}\]
解答群のうち、$x\lt-2$で$y=4$となっているのは、②のみである。
(3)
$x=7$を代入すると、不等式は成り立つ。 \[\begin{aligned} &5\cdot 7+2\lt 7a\\ &35+2\lt7a\\ &37\lt7a\\ &\dfrac{37}7\lt a \cdots ① \end{aligned}\]
$x=8$を代入すると、不等式は成り立たない。 \[\begin{aligned} &5\cdot 8+2\geqq 7a\\ &40+2\geqq7a\\ &42\geqq7a\\ &6\geqq a\cdots ② \end{aligned}\]
①②より、$\dfrac{37}7\lt a\leqq6$となる。
(4)
$\dfrac{m}{18}$が整数であるから、$m$は18の倍数である。
$\dfrac{m^2}{280}$が整数であるから、$m^2$は280の倍数である。
$280=2^3\cdot 5\cdot7$である。よって、$m^2$を素因数分解すると、$2$が3つ以上、$5$が1つ以上、$7$が1つ以上あることになる。
すると、$m$を素因数分解すると、$2$が$2$つ以上、$5$が1つ以上、$7$が1つ以上ある。したがって、$m$は$2^2\cdot 5 \cdot 7$つまり$140$の倍数でもある。
$m$は、$18$の倍数であり、$140$の倍数である。よって、$m$は、$18$と$140&の最小公倍数であるから、$m=1260$となる。
(5)
\[\begin{aligned} &8\sin\theta=-\cos\theta+4\\ &\cos\theta=4-8\sin\theta\cdots ①\\ \end{aligned}\]
$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$に$①$を代入する。 \[\sin^2\theta+(4-8\sin\theta)^2=1\]
$\sin\theta=s$と置き換えると、 \[\begin{aligned} &s^2+16-64s+64s^2=1\\ &65s^2-64s+15=0\\ &(13s-5)(5s-3)=0\\ &s=\dfrac{5}{13},\dfrac35 \end{aligned}\]
①より$\cos\theta=4-8s$である。
$s=\dfrac{5}{13}$のとき、 \[\begin{aligned} \cos\theta&=4-8s\\ &=4-8\cdot\dfrac{5}{13}\\ &=4-\dfrac{40}{13}\\ &=\dfrac{52}{13}-\dfrac{40}{13}\\ &=\dfrac{12}{13} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \tan\theta&=\sin\theta\div\cos\theta\\ &=\dfrac{5}{13}\div\dfrac{12}{13}\\ &=\dfrac{5}{13}\cdot\dfrac{13}{12}\\ &=\dfrac{5}{12} \end{aligned}\]
$s=\dfrac{3}{5}$のとき、 \[\begin{aligned} \cos\theta&=4-8s\\ =&4-8\cdot\dfrac{3}{5}\\ =&4-\dfrac{24}{5}\\ =&\dfrac{20}{5}-\dfrac{24}{5}\\ =&-\dfrac{4}{5} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \tan\theta=&\sin\theta\div\cos\theta\\ =&\dfrac{3}{5}\div\left(-\dfrac{4}{5}\right)\\ =&\dfrac{3}{5}\cdot\left(-\dfrac{5}{4}\right)\\ =&-\dfrac{3}{4} \end{aligned}\]
よって、$\tan\theta=\dfrac{5}{12},-\dfrac{3}{4}$である。
(6)
$\mathrm{O}_1$を中心とする円と辺$\mathrm{AB}$との接点を$\mathrm{S}$とする。
$\mathrm{O}_2$を中心とする円と辺$\mathrm{AB}$との接点を$\mathrm{T}$とする。
まず、$\mathrm{ST}$の長さを求める。
$\mathrm{O}_1\mathrm{S}\perp \mathrm{AB}$、$\mathrm{O}_2\mathrm{T}\perp \mathrm{AB}$から、四角形$\mathrm{O}_1\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{O}_2$は長方形である。$\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2=\sqrt5$から、$\mathrm{S}\mathrm{T}=\sqrt5$である。
次に、$\mathrm{AS}$の長さを求める。
$\triangle\mathrm{ABC}$が正三角形であるから、$\angle\mathrm{A}=60^\circ$である。
直線$\mathrm{AO}_1$は、$\angle\mathrm{A}$を二等分する。$\angle\mathrm{SAO}_1=30^\circ$である。
よって、$\triangle\mathrm{SAO}_1$について、\[\mathrm{SO}_1:\mathrm{AO}_1:\mathrm{SA}=1:2:\sqrt3\]である。$\mathrm{SO}_1=\dfrac{\sqrt5}2$から、 \[\mathrm{SA}=\sqrt3\cdot \dfrac{\sqrt5}2=\dfrac{\sqrt{15}}2\]である。
同じように、$\mathrm{TB}=\dfrac{\sqrt{15}}2$である。
$\mathrm{AB}=\mathrm{AS}+\mathrm{ST}+\mathrm{TB}$から、求める長さは、$\sqrt{15}+\sqrt5$である。
Ⅱ
$\boxed7$
$(a,0)、(a+2,0)$を通る放物線は、ある定数$b$を用いて、 \[y=b(x-a)(x-a-2)\]と表せる。
放物線$y=x^2$を平行移動した後の新しい放物線の式は、$x^2$の係数が$1$になる。よって、$b=1$である。
とりあえず、放物線の式は\[y=(x-a)(x-a-2)\]である。、
これが$(4,3)$を通るとき、 \[\begin{aligned} &3=(4-a)(4-a-2)\\ &3=(4-a)(2-a)\\ &3=8-6a+a^2\\ &0=a^2-6a+5\\ &0=(a-5)(a-1)\\ \end{aligned}\]から、$a=1.5$となる。
$\boxed8$
$C_1$の式は、 \[\begin{aligned} y&=(x-1)(x-1-2)\\ &=(x-1)(x-3)\\ &=x^2-4x+3\\ &=(x-2)^2-4+3\\ &=(x-2)^2-1 \end{aligned}\]である。$C_1$の軸は直線$x=2$である。
$C_2$の式は、 \[\begin{aligned} y&=(x-5)(x-5-2)\\ &=(x-5)(x-7)\\ &=x^2-12x+35\\ &=(x-6)^2-36+35\\ &=(x-6)^2-1 \end{aligned}\]である。$C_2$の軸は直線$x=6$である。
$C_1とC_2$のグラフは、下図のようになる。
$3と5$の真ん中は、$4$である。
よって、$C_1とC_2$の対象軸は直線$x=4$。
$\boxed9$
$C_1$の式で、$xを(-x)に、yを(-y)$に置き換えると、原点に関して対象移動させることができる。
$C_!$の式は、$\boxed8$を解く中で\[y=x^2-4x+3\]と計算してある。これの$xを(-x)に、yを(-y)$に置き換える。 \[\begin{aligned} &-y=(-x)^2-4(-x)+3\\ &-y=x^2+4x+3\\ &y=-x^2-4x-3 \end{aligned}\]よって、求める式は\[y=-x^2-4x-3\]である。
$\boxed{10}$
$C_2$の式は、$\boxed8$を解く中で\[y=x^2-12x+35\]と計算してある。\[f(x)=x^2-12x+35\]
$\boxed{11}$
\[f(x)=(x-6)^2-1\]から、$x$が6から遠いほど$f(x)$は大きくなる。
$k=4$のとき、$x$の範囲は$4\leqq x\leqq9$である。このうち、$6$から最も遠いのは$x=9$である。\[f(9)=9-1=8\]から不適。
$k=2$のとき、$x$の範囲は$2\leqq x\leqq7$である。このうち、$6$から最も遠いのは$x=2$である。\[f(2)=16-11=15\]から不適。
$k=2$のとき、$x$の範囲は$1\leqq x\leqq6$である。このうち、$6$から最も遠いのは$x=1$である。\[f(1)=25-1=24\]から適。
$k=6$のとき、$x$の範囲は$6\leqq x\leqq11$である。このうち、$6$から最も遠いのは$x=11$である。\[f(6)=25-1=24\]から適。
よって、答は③。
$\boxed{12}$
$f(x)=(x-6)^2-1から、xが6に近いほどf(x)は小さくなる。$
$k=6-\sqrt5$のとき、$x$の範囲は$6-\sqrt5\leqq x\leqq11-\sqrt5$である。このうち、$6$に最も近いのは$x=6$である。\[f(6)=-1から不適。\]①は不適。
$k=1-\sqrt5$のとき、$x$の範囲は$1-\sqrt5\leqq x\leqq 6-\sqrt5$である。このうち、$6$に最も近いのは$x=6-\sqrt5$である。\[f(6-\sqrt5)=5-1=4から適。\]
$k=6+\sqrt5$のとき、$x$の範囲は$1+\sqrt5\leqq x\leqq 11+\sqrt5$である。このうち、$6$に最も近いのは$x=6+\sqrt5$である。\[f(6+\sqrt5)=5-1=4から適。\]
答は②。
Ⅲ
$\boxed{13}$
$\triangle\mathrm{ABC}$において余弦定理から、 \[\begin{aligned} &\mathrm{AC}^2\\ =&\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2-2\mathrm{AB}\cdot\mathrm{BC}\cos\angle{\mathrm{ABC}}\\ =&2^2+5^2-2\cdot2\cdot5\cos120^\circ\\ =&4+25-20\cdot\left(-\dfrac12\right)\\ =&29+10\\ =&39 \end{aligned}\] である。
よって、$\mathrm{AC}=\sqrt{39}$である。
$\boxed{14}$
\[\begin{aligned} &\triangle\mathrm{ABC}\\ =&\dfrac12\mathrm{AB}\cdot\mathrm{BC}\sin120^\circ\\ =&\dfrac12\cdot2\cdot5\cdot\dfrac{\sqrt3}2\\ =&\dfrac{5\sqrt3}2 \end{aligned}\]
$\boxed{15}$
$\triangle\mathrm{ABC}$において正弦定理から、外接円の直径は、 \[\begin{aligned} &\dfrac{\mathrm{AC}}{\sin\angle\mathrm{ABC}}\\ =&\sqrt{39}\div\dfrac{\sqrt3}{2}\\ =&\sqrt{39}\cdot\dfrac{2}{\sqrt3}\\ =&2\sqrt{13} \end{aligned}\] である。
よって、半径は$\sqrt{13}$である。
$\boxed{16}$$\boxed{17}$
四角形$\mathrm{ABCD}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とする。
円の内接円の対角の和は$180^\circ$である。よって、 \[\begin{aligned} &\angle\mathrm{ABC}+\angle\mathrm{ADC}=180^\circ\\ &120^\circ+\angle\mathrm{ADC}=180^\circ\\ &\angle\mathrm{ADC}=60^\circ \end{aligned}\] である。
直線$\mathrm{AC}$の平行線を$\mathrm{AB}$を交わらないように引く。ただし、四角形$\mathrm{ABCD}$の外接円と共有点を持つようにする。
このような平行線のうち、直線$\mathrm{AC}$から最も遠いのは、$\mathrm{AC}$に平行な円の接線である。
よって、$\mathrm{D}$がその接点であるときに、$\triangle\mathrm{ACD}$の面積は最大になる。
このとき、直線$\mathrm{OD}$は、接線に垂直に交わる。その接線と平行な$\mathrm{AC}$とも垂直に交わる。
円の中心から弦に引いた垂線は、弦を二等分する。よって、直線$\mathrm{OD}$は$\mathrm{AC}$を垂直に二等分する。
よって、$\triangle\mathrm{ACD}$は、$\mathrm{DA}=\mathrm{DC}$の二等辺三角形である。
$\angle\mathrm{ADC}=60^\circ$から、$\triangle\mathrm{ACD}$は正三角形である。
よって、$x=\mathrm{AC}=\sqrt{39}$である。
\[\begin{aligned} &\triangle\mathrm{ACD}\\ =&\dfrac12\mathrm{AC}\cdot\mathrm{AD}\sin60^\circ\\ =&\dfrac12\cdot\sqrt{39}\cdot\sqrt{39}\cdot\dfrac{\sqrt3}2\\ =&\dfrac{39\sqrt3}4 \end{aligned}\]
$\boxed{18}$
$\triangle\mathrm{ACD}$について、正弦定理から、 \[\begin{aligned} &\dfrac{x}{\sin\angle\mathrm{CAD}}=\dfrac{\mathrm{AC}}{\sin\angle\mathrm{ADC}}\\ &x\div\sin45^\circ=\sqrt{39}\div\sin60^\circ\\ &x\div\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{39}\div\dfrac{\sqrt3}2\\ &\sqrt2x=\sqrt{39}\cdot \dfrac2{\sqrt3}\\ &\sqrt2x=2\sqrt{13}\\ &x=\dfrac{2\sqrt{13}}{\sqrt2}\\ &x=\sqrt{26} \end{aligned}\] となる。
$\mathrm{C}$から辺ABに垂線を引き、ABとの交点をHとする。
\[\begin{aligned} \mathrm{DH}&=x\cos60^\circ\\ &=\sqrt{26}\cdot\dfrac12\\ &=\dfrac{\sqrt{26}}2 \end{aligned}\]
$\angle\mathrm{CAD}=45^\circ$から、直角三角形$\mathrm{CAH}$は、直角二等辺三角形である。\[よって、\mathrm{AH}=\mathrm{CH}である。\]
\[\begin{aligned} \mathrm{CH}&=x\sin60^\circ\\ &=\sqrt{26}\cdot\dfrac{\sqrt3}2\\ &=\dfrac{\sqrt{78}}2 \end{aligned}\] から、$\mathrm{AH}=\dfrac{\sqrt{78}}2$である。
よって、\[y=\mathrm{DH}+\mathrm{AH}=\dfrac{\sqrt{78}+\sqrt{26}}2である。\]
$\boxed{19}$
$\boxed{14}$から、$\triangle\mathrm{ABC}=\dfrac{5\sqrt3}2$である。
よって、 \[\begin{aligned} &\triangle\mathrm{ABC}:\triangle\mathrm{ACD}=5:8\\ &\dfrac{5\sqrt3}2:\triangle\mathrm{ACD}=5:8\\ &5\triangle\mathrm{ACD}=20\sqrt3\\ &\triangle\mathrm{ACD}=4\sqrt3 \end{aligned}\] となる。
\[\begin{aligned} &\triangle\mathrm{ACD}\\ =&\dfrac{1}{2}xy\sin60^\circ\\ =&\dfrac{\sqrt3}4xy \end{aligned}\] であるから、 \[\begin{aligned} &\dfrac{\sqrt3}4xy=4\sqrt3\\ &xy=16 \end{aligned}\] となる。
$\boxed{20}$
$\triangle\mathrm{ACD}$において、余弦定理より、 \[\begin{aligned} &x^2+y^2-2xy\cos60^\circ=\triangle\mathrm{AC}^2\\ &x^2+y^2-2\cdot16\cdot\dfrac12=39\\ &x^2+y^2-16=39\\ &x^2+y^2=55 \end{aligned}\] である。
Ⅳ
(1)
3個のサイコロの出方すべての場合の数は、$6^3=216$通りである。
そのうち、3つの目が全て異なるのは${}_6P_3=120$通り。
よって、$\boxed{21}=\dfrac{120}{216}=\dfrac{5}{9}$である。
3つの目がすべて4以下であるのは、$4^3=64$通り。また、すべてが3以下であるのは$3^3=27$通り。
よって、3つの目がすべて4以下で、少なくとも1つが4であるのは、\[64-27=37通りである。\]
$\boxed{22}=\dfrac{37}{216}$
3つの目の積が6の倍数にならないから、$6$の目は出ない。また、偶数か$3$が出るとしても、一方しか出ない。
2と4と6が出ないのは、$3^3=27$通り。
3と6が出ないのは$4^3=64$通り。
2も3も4も6も出ないのは、$2^3=8通り。$
「2と6が出ない」または「3と6が出ない」のは、\[27+64-8=83\]通り。
$\boxed{23}=\dfac{83}{216}$
(2)
$\dfrac{280-220}{40}=1.5$であるから、$280$点は、全受験生の中で、\[下から0.5+0.4332=0.9332\]\[つまり上から1-0.9332=0.0668\]の順位である。
$320\cdot0.0668\fallingdotseq21.3$である。選択肢で最も近いのは22。
よって、$\boxed{24}=22$。
受験者のうち合格者の割合は、$50\div320=0.15625$である。
$0.5-0.15625=0.34375$であるから、$z=1.01$である。合格最低点は、平均よりも40点くらい高い。
よって、$\boxed{25}=260$。