式
$n$を正の整数とします。
\[\begin{aligned} \sum_{k=1}^n k^2 &=1^2+2^2+\cdots+n^2\\ &=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \sum_{k=1}^n k^3 &=1^3+2^3+\cdots +n^3\\ &= \frac{n^2(n+1)^2}{4}\\ &=\left(\sum_{k=1}^n k\right)^2 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} &1^3+2^3+3^3+4^3+5^3\\ =&(1+2+3+4+5)^2\\ =&15^2\\ =&225 \end{aligned}\]
2乗の和の公式を証明する
準備1
任意の正の整数$k$に対し、次の式が成り立ちます。 \[\begin{aligned} k^2=&(k-1)^2+(2k-1)\\ =&\sum_{\ell=1}^k (2\ell -1) \end{aligned}\]
準備2
次の等式を証明します。 \[\sum_{k=1}^n \sum_{\ell=1}^k (2 \ell -1) = \sum_{k=1}^n (2k-1)(n-k+1)\]
説明しやすいように、右辺の$k$を$m$にしておきます。 \[\sum_{k=1}^n \sum_{\ell=1}^k (2 \ell -1) = \sum_{m=1}^n (2m-1)(n-m+1)\]
各$k$に対し、$\displaystyle \sum_{\ell=1}^k (2 \ell -1)$で足される数を重複なく全て列挙したものは、下の表の「$\displaystyle \sum_{\ell=1}^k (2 \ell -1)$の項」です。
| $k$の値 | $1$ | $2$ | $\cdots$ | $n$ |
| $\displaystyle \sum_{\ell=1}^k (2 \ell -1)$の項 | $\cdots$ | $2n-1$ | ||
| $\cdots$ | $\vdots$ | |||
| $2\times 2-1$ | $\cdots$ | $2\times 2-1$ | ||
| $2\times 1 -1$ | $2\times 1 -1$ | $\cdots$ | $2\times 1 -1$ |
証明すべき仮説\[\sum_{k=1}^n\sum_{\ell=1}^k(2 \ell -1)=\sum_{m=1}^n (2m-1)(n-m+1)\]について、左辺と右辺では、表の見方が異なります。
左辺は、$k$の値ごとに表を縦に見ています。
右辺は、表を横に見ています。つまり、次のようなことを考えています。
- 表全体で、$2\times2-1$は$n-1$回足す。
- 表全体で、$2\times4-1$は$n-3$回足す。
整数$m$を$1 \leqq m \leqq n$とします。そして、各$k$、各$m$に対し、$2m-1$が上の表に出てくる回数を$T(k,m)$とします。次のようになります。 \[T(k,m) = \begin{cases} 0 & ( k < m ) \\ 1 & ( m\leqq k) \end{cases} \]
したがって、各$m$に対し、$2m-1$がこの表全体で出てくる回数は、次のようになります。 \[\sum_{k=1}^n T(k,m)=\sum_{k=m}^n1=n-m+1\]
表全体では、$2m-1$を$n-m+1$回足すことになります。その和は$(2m-1)(n-m+1)$です。
$m$について総和をとります。\[\sum_{m=1}^n(2m-1)(n-m+1)\]
表を縦に見ても横に見ても総和は等しいので、\[\sum_{k=1}^n\sum_{\ell=1}^k(2 \ell -1)=\sum_{m=1}^n(2m-1)(n-m+1)\]です。
本題
\[\begin{aligned} \sum_{k=1}^n k^2&=\sum_{k=1}^n\sum_{\ell=1}^k (2 \ell -1)\\ &=\sum_{k=1}^n (2k-1)(n-k+1)\\ &=\sum_{k=1}^n \{-2k^2 +(2n+3)k -n -1\}\\ \iff 3\sum_{k=1}^n k^2&= \sum_{k=1}^n\{(2n+3)k-n-1\}\\ &=\frac{(2n +3)n(n+1)}{2}-n(n+1)\\ &=\frac{n(n+1)(2n+1)}{2}\\ \iff\sum_{k=1}^n k^2&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{aligned}\]
最初の等式が真なので、最後の等式も真です。
$6$で割り切れるか
$\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$は本当に整数なのか、$n(n+1)(2n+1)$は$6$で割り切れるのか、心配になるかもしれません。式変形の経緯から割り切れるに決まっているのですが、一応、検討します。
「この整数は$6$の倍数である」と言うのと、「この整数は$2$の倍数である。この整数は$3$の倍数でもある。」 と言うのは同じ行為です。
$n(n+1)(2n+1)$について、この2つのことを言います。
$n$と$n+1$の一方は、$2$の倍数です。よって、$n(n+1)(2n+1)$も$2$の倍数です。
また、「$2n+1$は$3$の倍数である。」と言うのと「$3n-(2n+1)=n-1$は$3$の倍数である。」と言うのは、大体同じことです。
したがって、次の2つの命題も同じようなことを言っています。
- $2n+1$、$n$、$n+1$の少なくとも1つは、$3$の倍数である。
- $n-1$、$n$、$n+1$の少なくとも1つは、$3$の倍数である。
後者が真なので、前者も真です。よって、$n(n+1)(2n+1)$は$3$の倍数です。
結局、$n(n+1)(2n+1)$は$6$で割り切れることになります。
3乗の和の公式を証明する
任意の正の整数$k$に対し、次の式が成り立ちます。 \[\begin{aligned} k^3=&(k-1)^3+(3k^2-3k +1)\\ =&\sum_{\ell=1}^k (3\ell ^2-3\ell +1) \end{aligned}\]
また、次の式も成り立ちます。
$\begin{aligned} \sum_{k=1}^n (n-k+1)=&n+(n-1)+\cdots +1\\ =&\dfrac{n(n+1)}{2} \end{aligned}$
2乗の和と同様にして、次のようになります。
\[\begin{aligned} \sum_{k=1}^n k^3 &=\sum_{k=1}^n \sum_{\ell=1}^k (3 \ell ^2 -3 \ell +1) \\ &=\sum_{k=1}^n (3 k ^2 -3 k +1)(n-k+1)\\ &= \sum_{k=1}^n \{-3k^3 + 3(n+2) k^2 -3(n+1)k + (n-k+1)\}\\ \iff 4\sum_{k=1}^n k^3 &= \sum_{k=1}^n \{3(n+2) k^2 -3(n+1)k +(n-k+1)\}\\ &= \frac{(n+2)n(n+1)(2n+1)}{2} – \frac{3n(n+1)^2}{2} + \frac{n(n+1)}{2}\\ &= \frac{n(n+1)(2n^2+5n+2 -3n-3 +1)}{2}\\ &= \frac{n(n+1)(2n^2+2n)}{2}\\ &= n^2 (n+1)^2\\ \iff \sum_{k=1}^n k^3 &=\frac{n^2 (n+1)^2}{4} \end{aligned}\]
最初の等式が真なので、最後の等式も真です。