2乗の和の公式・3乗の和の公式の証明

式

$n$を正の整数とします。

\[\begin{aligned} \sum_{k=1}^n k^2 &=1^2+2^2+\cdots+n^2\\ &=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \sum_{k=1}^n k^3 &=1^3+2^3+\cdots +n^3\\ &= \frac{n^2(n+1)^2}{4}\\ &=\left(\sum_{k=1}^n k\right)^2 \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} &1^3+2^3+3^3+4^3+5^3\\ =&(1+2+3+4+5)^2\\ =&15^2\\ =&225 \end{aligned}\]

普通の証明

2乗の和

$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$を数学的帰納法で証明する。

$\displaystyle \sum_{k=1}^1 k^2=\frac{1\cdot (1+1)\cdot (2\cdot 1+1)}{6}$

また、$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$となる任意の$n$に対し、 \[\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n+1} k^2 &=\sum_{k=1}^{n}k^2+(n+1)^2\\ &=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2\\ &=\dfrac{(n+1)(2n^2+n+6n+6)}{6}\\ &=\dfrac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}\\ &=\dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\\ &=\dfrac{(n+1)\{(n+1)+1\}\{2(n+1)+1\}}{6}\\ \end{aligned}\] である。

よって、任意の正の整数$n$に対し、$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$である。

3乗の和

$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$を数学的帰納法で証明する。

$\displaystyle \sum_{k=1}^1 k^3=\frac{1^2\cdot (1+1)^2}{4}$

また、$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$となる任意の$n$に対し、 \[\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n+1} k^3 &=\sum_{k=1}^{n}k^3+(n+1)^3\\ &=\frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3\\ &=\dfrac{(n+1)^2(n^2+4n+4)}{4}\\ &=\dfrac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}\\ &=\dfrac{(n+1)^2\{(n+1)+1\}^2}{4}\\ \end{aligned}\] である。

よって、任意の正の整数$n$に対し、$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$である。

2乗の和の公式の別の証明

準備1

任意の正の整数$k$に対し、次の式が成り立ちます。 \[\begin{aligned} k^2=&(k-1)^2+(2k-1)\\ =&\sum_{\ell=1}^k (2\ell -1) \end{aligned}\]

準備2

次の等式を証明します。 \[\sum_{k=1}^n \sum_{\ell=1}^k (2 \ell -1) = \sum_{k=1}^n (2k-1)(n-k+1)\]

説明しやすいように、右辺の$k$を$m$にしておきます。 \[\sum_{k=1}^n \sum_{\ell=1}^k (2 \ell -1) = \sum_{m=1}^n (2m-1)(n-m+1)\]

各$k$に対し、$\displaystyle \sum_{\ell=1}^k (2 \ell -1)$で足される数を重複なく全て列挙したものは、下の表の「$\displaystyle \sum_{\ell=1}^k (2 \ell -1)$の項」です。

証明すべき仮説\[\sum_{k=1}^n\sum_{\ell=1}^k(2 \ell -1)=\sum_{m=1}^n (2m-1)(n-m+1)\]について、左辺と右辺では、表の見方が異なります。

左辺は、$k$の値ごとに表を縦に見ています。

右辺は、表を横に見ています。つまり、次のようなことを考えています。

• 表全体で、$2\times2-1$は$n-1$回足す。
• 表全体で、$2\times4-1$は$n-3$回足す。

$2m-1$は、$k\geqq m$のときに限り、各$k$に対し$1$回ずつ出てきます。

したがって、この表全体で$2m-1$が出てくる回数は、$n-m+1$回です。

表全体で$2m-1$を$n-m+1$回足すことになります。その和は$(2m-1)(n-m+1)$です。

$m$について総和をとると、表全体の和になります。\[\sum_{m=1}^n(2m-1)(n-m+1)\]

表を縦に見ても横に見ても、表全体の和は等しくなります。 \[\sum_{k=1}^n\sum_{\ell=1}^k(2 \ell -1)=\sum_{m=1}^n(2m-1)(n-m+1)\]

本題

\[\begin{aligned} \sum_{k=1}^n k^2&=\sum_{k=1}^n\sum_{\ell=1}^k (2 \ell -1)\\ &=\sum_{k=1}^n (2k-1)(n-k+1)\\ &=\sum_{k=1}^n \{-2k^2 +(2n+3)k -n -1\}\\ \iff 3\sum_{k=1}^n k^2&= \sum_{k=1}^n\{(2n+3)k-n-1\}\\ &=\frac{(2n +3)n(n+1)}{2}-n(n+1)\\ &=\frac{n(n+1)(2n+1)}{2}\\ \iff\sum_{k=1}^n k^2&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{aligned}\]

最初の等式が真なので、最後の等式も真です。

$6$で割り切れるか

$\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$は本当に整数なのか、つまり$n(n+1)(2n+1)$は$6$の倍数なのか、心配になるかもしれません。式変形の経緯から割り切れるに決まっているのですが、一応、検討します。

「この整数は$6$の倍数である」と言うのと、「この整数は$2$の倍数である。この整数は$3$の倍数でもある。」 と言うのは同じ行為です。

$n(n+1)(2n+1)$について、この2つのことを言います。

$n$と$n+1$の一方は、$2$の倍数です。よって、$n(n+1)(2n+1)$も$2$の倍数です。

また、「$2n+1$は$3$の倍数である。」と言うのと「$3n-(2n+1)=n-1$は$3$の倍数である。」と言うのは、大体同じことです。

したがって、次の2つの命題も同じようなことを言っています。

• $2n+1$、$n$、$n+1$の少なくとも1つは、$3$の倍数である。
• $n-1$、$n$、$n+1$の少なくとも1つは、$3$の倍数である。

後者が真なので、前者も真です。よって、$n(n+1)(2n+1)$は$3$の倍数です。

結局、$n(n+1)(2n+1)$は$6$の倍数です。

3乗の和の公式の別の証明

任意の正の整数$k$に対し、次の式が成り立ちます。 \[\begin{aligned} k^3=&(k-1)^3+(3k^2-3k +1)\\ =&\sum_{\ell=1}^k (3\ell ^2-3\ell +1) \end{aligned}\]

また、次の式も成り立ちます。

$\begin{aligned} \sum_{k=1}^n (n-k+1)=&n+(n-1)+\cdots +1\\ =&\dfrac{n(n+1)}{2} \end{aligned}$

2乗の和と同様にして、次のようになります。

\[\begin{aligned} \sum_{k=1}^n k^3 &=\sum_{k=1}^n \sum_{\ell=1}^k (3 \ell ^2 -3 \ell +1) \\ &=\sum_{k=1}^n (3 k ^2 -3 k +1)(n-k+1)\\ &= \sum_{k=1}^n \{-3k^3 + 3(n+2) k^2 -3(n+1)k + (n-k+1)\}\\ \iff 4\sum_{k=1}^n k^3 &= \sum_{k=1}^n \{3(n+2) k^2 -3(n+1)k +(n-k+1)\}\\ &= \frac{(n+2)n(n+1)(2n+1)}{2} – \frac{3n(n+1)^2}{2} + \frac{n(n+1)}{2}\\ &= \frac{n(n+1)(2n^2+5n+2 -3n-3 +1)}{2}\\ &= \frac{n(n+1)(2n^2+2n)}{2}\\ &= n^2 (n+1)^2\\ \iff \sum_{k=1}^n k^3 &=\frac{n^2 (n+1)^2}{4} \end{aligned}\]

最初の等式が真なので、最後の等式も真です。