差を筆算で表す方法
$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n3^k (k+3)$として、この$\displaystyle \sum$を消去します。
$n\geqq 2$のとき
\[\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{ccc}
&S_n & = & 3\cdot4 &+&3^2\cdot5&+&\cdots&+&3^n(n+3)\\
-&3S_n & = &&& 3^2\cdot 4 &+&3^3\cdot5 &+&\cdots&+&3^{n+1}(n+3)\\ \hline
&-2S_n&=&3\cdot4 &+&3^2&+&\cdots&+&3^n&-&3^{n+1}(n+3)
\end{array}\]
\[\begin{aligned}
2S_n=&3^{n+1}(n+3)-\dfrac{3^{n+1}-9}{2}-12\\
=&\dfrac{3^{n+1}(2n+5)-15}{2}
\end{aligned}\]
\[S_n=\dfrac{3^{n+1}(2n+5)-15}{4}\]
これに試しに$n=1$を代入すると、$S_1=12$となる。
よって、任意の正の整数$n$に対し、$S_n=\dfrac{3^{n+1}(2n+5)-15}{4}$である。
差を$\sum$のまま表す方法
\[\begin{aligned}
2S_n=&3S_n-S_n\\
=&\sum_{k=1}^n3^{k+1} (k+3)-\sum_{k=1}^n3^k (k+3)\\
=&\sum_{k=2}^{n+1}3^{k} (k+2)-\sum_{k=1}^n3^k (k+3)\\
=&\sum_{k=1}^{n+1}3^{k} (k+2)-9-\sum_{k=1}^n3^k (k+3)\\
=&3^{n+1}(n+3)-\sum_{k=1}^n3^k-9\\
=&3^{n+1}(n+3)-\dfrac{3^{n+1}-3}2-9\\
=&\dfrac{3^{n+1}(2n+5)-15}{2}
\end{aligned}\]
\[S_n=\dfrac{3^{n+1}(2n+5)-15}{4}\]
漸化式を使う方法
\[\begin{aligned}
&S_n=\sum_{k=1}^n3^k (k+3)\\
\iff&
\left\{
\begin{array}{l}
S_{n+1}=S_n+3^{n+1}(n+4)\\
S_1=12\\
\end{array}
\right.
\\
\iff&S_{n+1}-3^{n+2}\cdot\frac{2(n+1)+5}4=S_n-3^{n+1}\cdot\frac{2n+5}4=S_1-\dfrac{63}4=-\dfrac{15}4\\
\iff&S_n=\dfrac{3^{n+1}(2n+5)-15}{4}
\end{aligned}\]
