答
$t$を実数とする。
曲線の$x=t$における接線の式は、 \[\begin{aligned} y=&f'(t)(x-t)+f(t)\\ =&f'(t)x-tf'(t)+f(t)である。 \end{aligned}\]
よって、ある$t$に対し、$tf'(t)-f(t)=0$となることを示せばよい。
$x\gt 0 $で$g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$とする。
$g'(x)=\dfrac{xf'(x)-f(x)}{x^2}$である。
$g(a)=g(1)$から、ロルの定理より、ある正数$b$に対し、$g'(b)=\dfrac{bf'(b)-f(b)}{b^2}=0$となる。
$bf'(b)-f(b)=0$から、題意は示された。