第1問
(1)
$6^4=16\cdot 3^4=3^6+7\cdot 3^4=3^6+2\cdot 3^5+3^4=1210000_{(3)}$
(2)
$7$桁のとき、上$3$桁が$121$となるのが$1$つ。$120$となるのが$4\cdot 2^3=32$個。上$2$桁が$11$となるのが$2^5=32$個。上$2$桁が$10$となるのが$5\cdot 2^4=80$個。
$6$桁以下のとき、${}_6\mathrm{C}_2 \cdot 2^4=240$個。
よって、求める個数は、$385$個。
第2問
(1)
$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\dfrac12(\vec{a}+\vec{c})$である。
ある実数$p,q,r$が存在し、$p+q+r=1$。$\cdots$①
\[\begin{aligned} &\overrightarrow{\mathrm{OG}}\\ =&ps\vec{a}+qt\vec{b}+\dfrac{r}2(\vec{a}+\vec{c})\\ =&\left(ps+\dfrac{r}2\right)\vec{a}+qt\vec{b}+\dfrac{r}2\vec{c} \end{aligned}\] となる。$\cdots$②
\[\vec{a}、\vec{b}、\vec{c}は、線型独立である。\]\[\mathrm{G}が平面\mathrm{OBC}上にあるから、ps+\dfrac{r}2=0である。\]
また、Gは直線BC上にあるから、$qt+\dfrac{r}2=1$である。
よって、$p=-\dfrac{r}{2s}$、$q=\dfrac{2-r}{2t}$となる。
①は \[\begin{aligned} &p+q+r=1\\ &-\dfrac{r}{2s}+\dfrac{2-r}{2t}+r=1\\ &-tr+2s-sr+2str=2st\\ &(2st-s-t)r=2s(t-1)\\ \end{aligned}\] となる。
$2st-s-t=2\left(s-\dfrac12\right)\left(t-\dfrac12\right)-\dfrac{1}{2}$である。$\left(s-\dfrac12\right)\left(t-\dfrac12\right) \lt\dfrac14$から、$2st-s-t\neq 0$である。
よって、$r=\dfrac{2s(1-t)}{s+t-2st}$、$q=\dfrac{1-s}{s+t-2st}$となる。
②より、\[\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\dfrac{t(1-s)\vec{b}+s(1-t)\vec{c}}{s+t-2st}\]
(2)
外分点をHとする。
\[\begin{aligned} &\overrightarrow{\mathrm{OH}}\\ =&\dfrac{3\vec{a}-\vec{b}}{2}\\ =&\dfrac{3}{2s}\overrightarrow{\mathrm{OE}}-\dfrac{1}{2t}\overrightarrow{\mathrm{OF}} \end{aligned}\]
Hは、直線EF上にあるから、 \[\begin{aligned} &\dfrac{3}{2s}-\dfrac{1}{2t}=1\\ &3t-s=2st\\ &(3-2s)t=s\\ &t=\dfrac{s}{3-2s}(\because 2s\lt 3) \end{aligned}\]
このとき、 \[\begin{aligned} &\overrightarrow{\mathrm{OG}}\\ =&\dfrac{t(1-s)\vec{b}+s(1-t)\vec{c}}{s+t-2st}\\ =&\dfrac{s(1-s)\vec{b}+s(3-2s-s)\vec{c}}{s(3-2s)+s-2s^2}\\ =&\dfrac{s(1-s)\vec{b}+3s(1-s)\vec{c}}{4s(1-s)}\\ =&\dfrac{\vec{b}+3\vec{c}}{4}\\ \end{aligned}\]
(3)
点Oから面ABCに下ろした垂線の足は、三角形ABCの重心である。その重心とBとの距離は$\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac1{\sqrt3}$である。
よって、$\cos\mathrm{OBD}=\dfrac1{\sqrt3}$である。
余弦定理より、$\triangle$BDFについて、 \[\begin{aligned} &\mathrm{DF}^2\\ =&\mathrm{BF}^2+\mathrm{BD}^2-2\mathrm{BF}\cdot \mathrm{BD}\cos\angle\mathrm{OBD}\\ =&\mathrm{BF}^2+\dfrac34-\mathrm{BF}\\ \end{aligned}\]
$\triangle$BGFについて、 \[\begin{aligned} &\mathrm{GF}^2\\ =&\mathrm{BF}^2+\mathrm{BG}^2-2\mathrm{BF}\cdot\mathrm{BG}\cos\angle\mathrm{OBC}\\ =&\mathrm{BF}^2+\dfrac9{16}-\dfrac34\mathrm{BF}\\ \end{aligned}\]
$\mathrm{DF}=\mathrm{GF}$から、 \[\begin{aligned} &\dfrac34-\mathrm{BF}=\dfrac9{16}-\dfrac34\mathrm{BF}\\ &\dfrac{3}{16}=\dfrac14\mathrm{BF}\\ &\dfrac34=\mathrm{BF}\\ &t=\dfrac14 \end{aligned}\] となる。
$s=\dfrac12$である。
$\mathrm{BG:GC=BF:FO}$から、$\mathrm{FG}\parallel\mathrm{OC}$。($\parallel$は平行。)
$\mathrm{AD:DC=EF:EO}$から、$\mathrm{ED}\parallel\mathrm{OC}$。
よって、$\mathrm{ED}\parallel\mathrm{FG}$であり、$\triangle\mathrm{DEF}$と$\triangle\mathrm{DFG}$の面積比は\[\mathrm{ED}:\mathrm{FG}=\dfrac12\mathrm{OC}:\dfrac34\mathrm{OC}=2:3。\cdots③\]
$\triangle\mathrm{CDG}$について、余弦定理より、 \[\mathrm{DG}=\sqrt{\dfrac14+\dfrac1{16}-2\cdot\dfrac12\cdot\dfrac14\cdot\dfrac12}=\dfrac{\sqrt3}4\]である。
$\mathrm{FG}=\mathrm{FD}=\dfrac34$であるから、\[\triangle\mathrm{EFG}=\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{\sqrt{33}}8\cdot\dfrac12=\dfrac{3\sqrt11}{64}\]である。
よって、求める面積は、③より\[\dfrac{3\sqrt{11}}{32}\cdot\dfrac53=\dfrac{5\sqrt{11}}{64}\]である。
第3問
Mの座標は$(3\cos\theta,3\sin\theta)$である。
(1)
接点をRとすると、$\stackrel{\Large \frown}{\mathrm{QR}}=2\theta$であり、$\angle\mathrm{QMR}=2\theta$である。
点Nを$(3\cos\theta-1,3\sin\theta)$とすると、$\angle\mathrm{ONM}=\theta$である。
よって、Qの$x$座標は、\[3\cos\theta+\cos(\pi+3\theta)=3\cos\theta-\cos3\theta\]である。また、$y$座標は、\[3\sin\theta+\sin(\pi+3\theta)=3\sin\theta-\sin3\theta\]となる。
(2)
(1)より、\[f(\theta)=3\cos\theta+\cos3\theta\] \[g(\theta)=3\sin\theta+\sin3\theta\]である。
\[\dfrac{dx}{d\theta}=-3\sin\theta-3\sin3\theta=-6\sin2\theta\cos\theta\] \[\dfrac{dy}{d\theta}=3\cos\theta+3\cos3\theta=6\cos2\theta\cos\theta\]
\[\begin{aligned} &\dfrac{dy}{dx}\\ =&\dfrac{dy}{d\theta}/\dfrac{dx}{d\theta}\\ =&-\dfrac{\cos2\theta}{\sin2\theta} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} &\dfrac{d^2y}{dx^2}\\ =&\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)\\ =&\dfrac{d}{dx}\left(-\dfrac{\cos2\theta}{\sin2\theta}\right)/\dfrac{dx}{d\theta}\\ =&\dfrac{2}{\sin^22\theta}\cdot \dfrac{1}{-6\sin2\theta\cos\theta}\\ =&-\dfrac{1}{3\sin^32\theta\cos\theta} \end{aligned}\]
(3)
$F'(x)=\dfrac{dy}{dx}$、$F^{\prime\prime}(x)=\dfrac{d^2y}{dx^2}$である。
$0\lt\theta\lt\dfrac\pi2$から、$F^{\prime\prime}(x)\lt 0$であり、グラフは上に凸である。
また、$\dfrac{dx}{d\theta}\lt 0$から、$\theta$の関数$x$は狭義単調減少である。$F(x)$の増減は下のようになる。
| $\theta$ | $\dfrac{\pi}2$ | $\cdots$ | $\dfrac{\pi}4$ | $\cdots$ | $0$ |
| $x$ | $0$ | $\cdots$ | $\sqrt2$ | $\cdots$ | $4$ |
| $F'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | ||
| $F(x)$ | $2$ | $\nearrow$ | $2\sqrt2$ | $\searrow$ | $0$ |
極値は、$2\sqrt2$である。
(4)
\[A=\int_0^{\pi/2}(\sin^23\theta+3\sin^2\theta+4\sin3\theta\sin\theta)d\theta\] \[B=\int_0^{\pi/2}(\cos^23\theta+3\cos^2\theta+4\cos3\theta\cos\theta)d\theta\] とする。
\[\begin{aligned} &A+B\\ =&\int_0^{\pi/2} (4+4\cos2\theta)d\theta\\ =&\left[4\theta+2\sin2\theta \right]_0^{\pi/2}\\ =&2\pi\\ \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} &B-A\\ =&\int_0^{\pi/2} (\cos6\theta+3\cos2\theta+4\cos4\theta)d\theta\\ =&0\\ \end{aligned}\]
よって、$A=B=\pi$となる。
求める面積は、 \[\begin{aligned} &\int_0^4 y dx\\ =&\int_{\pi/2}^0 (3\sin\theta+\sin3\theta)(-3\sin\theta-3\sin3\theta)d\theta\\ =&3A\\ =&3\pi \end{aligned}\] である。