福島県立医科大学-医学部-数学-2021年

第1問

(1)

対数関数の定義域は正の数であるから、\[5-x^2\gt 0かつ5-x\gt 0かつx^2-2x+1\gt 0\]となる。

つまり、$-\sqrt5\lt x\lt \sqrt5かつx\neq 1$である。$\cdots①$

不等式は、 \[\begin{aligned} &\log_3(5-x^2)-\log_3(5-x)\geqq \log_3 |x-1|-1\\ & \log_33(5-x^2)\geqq \log_3 |x-1|(5-x)\\ & 15-3x^2\geqq |x-1|(5-x)\\ \end{aligned}\]

$-\sqrt5 \lt x\lt 1$のとき、不等式は、 \[\begin{aligned} & 15-3x^2\geqq |x-1|(5-x)\\ &15-3x^2\geqq x^2-6x+5\\ & 0 \geqq 4x^2- 6x -10\\ & 0 \geqq 2x^2- 3x -5\\ & 0 \geqq (2x-5)(x+1)\\ & -1\leqq x \lt 1(\because x\lt 1)\\ \end{aligned}\]となる。

$1 \lt x \lt \sqrt5$のとき、不等式は、 \[\begin{aligned} & 15-3x^2\geqq |x-1|(5-x)\\ &15-3x^2\geqq -x^2+6x-5\\ & 0 \geqq 2x^2+6x-20\\ & 0 \geqq x^2+3x -10\\ & 0 \geqq (x+5)(x-2)\\ & 1\lt x \leqq 2(\because ①)\\ \end{aligned}\]となる。

よって、不等式の解は、$-1\leqq x \leqq 2$かつ$x\neq 1$である。

(2)

前半

\[ f(x) = \begin{cases} -2x^2+4 &(|x|\leqq 1) \\ 2|x| &(1\leqq |x|\leqq 2)\\ 2x^2-4 &(2\leqq |x|)\\ \end{cases} \]

よって、$f(x)$の増減は、下のようになる。

よって、$a=2$、$b=4$である。

後半

$|x|\leqq 1$のとき、$-2x^2+4=3\iff x=\pm\dfrac{1}{\sqrt2}$。

$1\leqq |x|\leqq 2$のとき、$2|x|=3\iff x=\pm\dfrac{3}{2}$。

$|x|\geqq 2$のとき、$2x^2-4=3\iff x=\pm\sqrt{\dfrac{7}{2}}$となり、不適。

よって、求める解は、$x=\pm\dfrac{1}{\sqrt2},\pm\dfrac{3}{2}$である。

(3)

$a=\displaystyle \int_0^1 2^{2t}f(t)dt$とする。

$f(x)=x+2^x a$である。

\[\begin{aligned} &a\\ =&\int_0^1 2^{2t}(t+2^ta)dt\\ =&\int_0^1 \left(2^{2t}t+2^{3t}a\right) dt\\ =&\left[\dfrac{2^{2t}t}{2\log2}\right]_0^1+ \int_0^1 \left(2^{3t}a-\dfrac{2^{2t}}{2\log2}\right) dt\\ =&\dfrac{2}{\log2}+\left[\dfrac{2^{3t}a}{3\log2}-\dfrac{2^{2t}}{4(\log2)^2}\right]_0^1\\ =&\dfrac{2}{\log2}+\dfrac{7a}{3\log2}-\dfrac{3}{4(\log2)^2} \end{aligned}\] \[\begin{aligned} &(3\log2-7)a=6-\dfrac{9}{4\log2}\\ & a=\dfrac{3(8\log2-3)}{4(3\log2-7)\log2} \end{aligned}\]となる。

$f(0)=a=\dfrac{3(8\log2-3)}{4(3\log2-7)\log2}$である。

(4)

$0$以上の整数$k$に対し、$\{a_n\}$のうち、$12k$より大きく$12(k+1)$以下の項の集合を$A_k$とする。

$A_k=\{12k+\ell|\ell=3,4,6,8,9,12\}$である。

$A_k$の要素の和は$72k+42$である。

$\displaystyle\sum_{i=1}^{6n}a_i$は、$A_0$から$A_{n-1}$までの要素の和であるから、求める式は \[\begin{aligned} &\sum_{k=0}^{n-1}(72k+42)\\ =&36n(n-1)+42n\\ =&6n(6n+1) \end{aligned}\]である。

第2問

(1)

よって、P、Q、R、Sは、辺OE、OF、DE、DFを$t:(1-t)$に内分する点であるから、それぞれ$(t,0.t)$、$(0,t,t)$、$(1,1-t,t)$、$(1-t,1,t)$となる。

(2)

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(-t,t,0)$であり、$\overrightarrow{\mathrm{PR}}=(1-t,1-t,0)$である。

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}=0$から、$\angle\mathrm{QPR}=90^\circ$である。

同様にして、断面である四角形PQSRは、全ての角が$90^\circ$であるから、長方形である。

$\mathrm{PQ}=\sqrt2t$、$\mathrm{PR}=\sqrt2(1-t)$から、面積は$2t(1-t)$である。

(3)

EFとCGの交点は$\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},1\right)$。

ABとODの交点は$\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},0\right)$。

AGとEDの交点は$\left(1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)$。

BGとFDの交点は$\left(\dfrac{1}{2},1,\dfrac{1}{2}\right)$。

OEとACの交点は$\left(\dfrac{1}{2},0,\dfrac{1}{2}\right)$。

OFとABの交点は$\left(0,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)$。

$V$は、これらの交点を頂点とする正八面体であり、1辺の長さは$\dfrac{1}{\sqrt2}$である。

$z=t$で切断したときの断面の1辺の長さは、$t\leqq \dfrac12$のとき$\sqrt2t$、$t\geqq \dfrac12$のとき$\sqrt2(1-t)$である。

よって、$V$を平面$x=t$で切断したときの断面積は$t\leqq \dfrac12$のとき$2t^2$、$t\geqq \dfrac12$のとき$2(1-t)^2$である。

(3)

求める体積は、$\left(\dfrac1{\sqrt2}\right)^2\cdot 1\cdot\dfrac13=\dfrac{1}{6}$である。

(4)

正八面体の1つの面の面積は、$\dfrac{1}{2}\cdot \left(\dfrac1{\sqrt2}\right)^2\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{8}$である。

内接球の半径を$r$とすると、$8r\cdot\dfrac{\sqrt3}{8}\cdot \dfrac{1}3= \dfrac{1}{6}$から、$r=\dfrac1{2\sqrt3}$。

第3問

\[\begin{aligned} &f(x)\\ =&\sin^2x(1-2\sin^2x)\\ =&\sin^2x-2\sin^4x\\ =&-2\left(\sin^2x-\dfrac14\right)^2+\dfrac18\\ \end{aligned}\]

(1)

求める最大値は、$\sin x=\dfrac12$のとき$\dfrac18$、最小値は$\sin x=1$のとき、$-1$。

(2)

$g(x)=\cos^2x\cos2x$とする。

$C$、$D$を積分定数とする。

\[\begin{aligned} &\int f(x)dx+\int g(x)dx\\ =& \int \cos2x dx\\ =& \dfrac12 \sin2x+C\\ \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} &\int g(x)dx-\int f(x)dx\\ =& \int (\cos^2x -\sin^2x)\cos2x dx\\ =& \int \cos^2 2x dx\\ =& \int \dfrac{\cos4x+1}{2}dx\\ =& \dfrac{\sin4x}{8}+\dfrac{1}2x+D \end{aligned}\]

よって、\[\int f(x)dx=\dfrac14 \sin2x-\dfrac{\sin4x}{16}-\dfrac{1}4x+\dfrac{C-D}{2}\]となる。

これを$F(x)$とする。

$0\lt x \lt \dfrac{\pi}2$で$f(x)=0$となるのは$x=\dfrac{\pi}4$のときである。

よって、(1)の増減表から、$0\leqq x \leqq \dfrac{\pi}4$のとき$f(x)\geqq0$である。また、$\dfrac{\pi}4\leqq x \leqq \dfrac{\pi}2$のとき$f(x)\leqq 0$である。

よって、 \[\begin{aligned} &\dfrac{S}{2}\\ =& \int_0^{\pi/2}|f(x)|dx\\ =& \int_0^{\pi/4}f(x)dx- \int_{\pi/4}^{\pi/2}f(x)dx\\ =& \left\{F\left(\dfrac{\pi}4\right)-F\left(0\right)\right\}-\left\{F\left(\dfrac{\pi}2\right)-F\left(\dfrac{\pi}4\right)\right\}\\ =& 2F\left(\dfrac{\pi}4\right)-F\left(0\right)-F\left(\dfrac{\pi}2\right)\\ =& 2\left(\dfrac{1}4-\dfrac{\pi}{16}\right)+\dfrac{\pi}{8}\\ =& \dfrac{1}{2} \end{aligned}\]

$S=1$

(3)

$\displaystyle V=\pi\int_0^\pi \sin^4 x\cos^22xdx$である。

$\displaystyle V^{\prime}=\pi\int_0^\pi \cos^4 x\cos^22xdx$とする。

\[\begin{aligned} &\dfrac{V^{\prime}-V}{\pi}\\ =&\int_0^\pi (\cos^4 x-\sin^4x)\cos^22xdx\\ =&\int_0^\pi (\cos^2 x+\sin^2x)(\cos^2 x-\sin^2x)\cos^22xdx\\ =&\int_0^\pi \cos^3 2xdx\\ =&\int_0^\pi (1-\sin^22x)\cos 2xdx\\ =&\dfrac{1}{2}\left[\sin2x -\dfrac{1}{6}\sin^3 2x\right]_0^\pi\\ =&0 \end{aligned}\]

よって、$V=V^\prime$。

\[\begin{aligned} &\dfrac{V+V^{\prime}}\pi\\ =&\int_0^\pi (\cos^4 x+\sin^4x)\cos^22xdx\\ =&\int_0^\pi \{(\cos^2 x+\sin^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x\}\cos^22xdx\\ =&\int_0^\pi \left(1-\dfrac{1}{2}\sin^2 2x\right)\cos^22xdx\\ =&\int_0^\pi \left(\cos^22x-\dfrac{1}{2}\sin^2 2x\cos^22x\right)dx\\ =&\int_0^\pi \left(\dfrac{\cos4x+1}2-\dfrac{1}{8}\sin^2 4x\right)dx\\ =&\int_0^\pi \left(\dfrac{\cos4x+1}2-\dfrac{1-\cos8x}{16}\right)dx\\ =&\left[\dfrac{1}{8}\sin4x+\dfrac{1}{128}\sin8x+\dfrac{7}{16}x\right]_0^\pi\\ =&\dfrac{7}{16}\pi \end{aligned}\]

$V+V’=\dfrac{7}{16}\pi^2$

よって、$V=\dfrac{7}{32}\pi^2$である。

第4問

(1)

$P(A)=\dfrac{5^3}{{}_{15}\mathrm{C}_3}=\dfrac{25}{91}$

(2)

1枚だけ偶数が出る場合の数は、$6\cdot {}_9\mathrm{C}_2=216$。

すべてが偶数である場合の数は、$_6\mathrm{C}_3=20$。

よって、$P(B)=\dfrac{236}{455}$。

(3)

$A$の部分集合のうち、1枚だけ偶数が出るという事象を$V$とし、3枚とも偶数が出るという事象を$W$とする。$A\cap B =V \cup W$である。

$V$の場合の数は、$2\times 3\cdot 3^2=54$。

$W$の場合の数は、$2^3=8$。

よって、$P_B(A)=\dfrac{62}{236}=\dfrac{31}{118}$。

(4)

1回目に$V$が起き、2回目に偶数が1枚だけ出る場合の数は、$54\cdot 5\cdot {}_7\mathrm{C}_2=54\cdot 105$。

1回目に$V$が起き、2回目に偶数が3枚出る場合の数は、$54\cdot 5\mathrm{C}_3=54\cdot 10$。

1回目に$W$が起き、2回目に偶数が1枚だけ出る場合の数は、$8\cdot 3\cdot {}_9\mathrm{C}_2=8\cdot 108$。

1回目に$W$が起き、2回目に偶数が3枚出る場合の数は、$8$。

よって、$P_{A\cap B}(C)=\dfrac{54\cdot 105+54\cdot 10+8\cdot 108+8}{62\cdot {}_{12}\mathrm{C}_3}=\dfrac{3541}{6820}$。