目次
第1問
(1)
この関数を$f(x)$とする。
$f(x+2\pi)=f(x)$から、$f(x)$は周期$2\pi$の周期関数である。
また、$f\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=f(x)$である。この$x$を$\dfrac{\pi}4+x$に置き換えると、$f\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)=f\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)$となる。
よって、定義域を$\left[\dfrac14\pi,\dfrac54\pi\right]$に制限しても、最大値と最小値は変わらない。
\[\begin{aligned} &f'(x)\\ =&\cos^2x-\sin^2x+\cos x-\sin x\\ =&(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)+\cos x-\sin x\\ =&(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x+1)\\ =&\sqrt2(\cos x-\sin x)\left\{\sin\left(x+\dfrac{\pi}4\right)+\dfrac{1}{\sqrt2}\right\}\\ \end{aligned}\]
よって、増減表は次のようになる。
| $x$ | $\dfrac{\pi}4$ | $\cdots$ | $\pi$ | $\cdots$ | $\dfrac54\pi$ |
| $f'(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| $f(x)$ | $\sqrt2+\dfrac12$ | $\searrow$ | $-1$ | $\nearrow$ | $\dfrac12-\sqrt2$ |
よって、最大値は$\sqrt2+\dfrac12$、最小値は$-1$。
(2)
$z=0,1$のとき、$z=z^2=z^3$となり、不適。$z\neq 0,1$とする。
正数$a$、$b$、$c$に対し、 \[\begin{aligned} &a|z^2-z|=b|z^3-z^2|=c|z^3-z|\\ \iff&a|z||z-1|=b|z|^2|z-1|=c|z||z+1||z-1|\\ \iff&a=b|z|=c|z+1|\\ \end{aligned}\] とする。
(ⅰ)$a=b=1$、$c=2$のとき、$|z|=1$かつ$|z+1|=\dfrac12$となる。
\[\begin{aligned} &|z+1|=\dfrac12\\ &(z+1)(\bar{z}+1)=\dfrac14\\ &|z|^2+z+\bar{z}+1=\dfrac14\\ &z+\bar{z}=-\dfrac74& \end{aligned}\]
よって、$z$の実部は$-\dfrac78$である。$|z|=1$から、$z=\dfrac{-7\pm\sqrt{15}i}8$である。
(ⅱ)$a=c=1$、$b=2$のとき、$|z+1|=1$かつ$|z|=\dfrac12$となる。
\[\begin{aligned} &|z+1|=1\\ &(z+1)(\bar{z}+1)=1\\ &|z|^2+z+\bar{z}+1=1\\ &z+\bar{z}=-\dfrac14& \end{aligned}\]
よって、$z$の実部は$-\dfrac18$である。$|z|=\dfrac12$から、$z=\dfrac{-1\pm\sqrt{15}i}8$である。
(ⅲ)$b=c=1$、$a=2$のとき、$|z+1|=|z|=2$となる。
$z$は複素平面上で点$0$と点$-1$との垂直二等分線上にあるから、実部は$-\dfrac12$である。$|z|=2$から、$z=\dfrac{-1\pm\sqrt{15}i}2$である。
求める値は$z=\dfrac{-7\pm\sqrt{15}i}8,\dfrac{-1\pm\sqrt{15}i}8,\dfrac{-1\pm\sqrt{15}i}2$である。
(3)
2つの関数の前者を$f(x)$、後者を$g(x)$とする。
\[\begin{aligned} &f(x)-g(x)\\ =&x^3-ax^2\\ =&x^2(x-a)\\ \end{aligned}\]から、2曲線は$x=0,a$で交わる。
交点が2つあるから、$a\neq 0$である。
$f'(x)=3x^2-5$であり、\[f'(0)=-5\]\[f'(a)=3a^2-5\]である。
$g'(x)=2ax-5$であり、\[g'(0)=-5\]\[f'(a)=2a^2-5\]である。
よって、$f'(0)=g'(0)$から、$x=a$における2曲線の接線が直交する。
\[(3a^2-5)(2a^2-5)=-1\] \[6a^4-25a^2+26=0\] \[(a^2-2)(6a^2-13)=0\] \[a=\pm\sqrt2,\pm\sqrt{\dfrac{13}{6}}\]である。
(4)
$0$以上の整数$\ell,m,n$の組で \[\begin{cases} \ell+m+n=10\\ m+3n=7 \end{cases}\] となるのは、 $(\ell,m,n)=(7,1,2),(5,4,1),(3,7,0)$のみである。
求める係数は$\dfrac{10!}{7!2!}+\dfrac{10!}{5!4!}+\dfrac{10!}{3!7!}=1740$
第2問
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{c}=\vec{c}\cdot\vec{a}=0$である。
(1)
\[\overrightarrow{\mathrm{OP}}=t(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\]から\[\overrightarrow{\mathrm{BP}}=t(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})-\vec{b}\]である。
\[\begin{aligned} &\overrightarrow{\mathrm{BP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}\\ =&\overrightarrow{\mathrm{BP}}\cdot(\vec{a}+\vec{c}-\vec{b})\\ =&t+t-(t-1)\\ =&t+1 \end{aligned}\] である。
よって、$\mathrm{BR}=\dfrac{t+1}{\sqrt3}$であり、 \[\begin{aligned} &\overrightarrow{\mathrm{BR}}\\ =&\overrightarrow{\mathrm{BE}}\cdot\dfrac{1-t}{\sqrt3}\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}\\ =&\dfrac{t+1}3(\vec{a}+\vec{c}-\vec{b}) \end{aligned}\]
$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\dfrac{t+1}3(\vec{a}+\vec{c}-\vec{b})+\vec{b}$である。
(2)
長方形OAFG、長方形OBFE、長方形OCFDは、合同である。
Q、R、Sは、それぞれの対角線のうちOを含まないものにPから下ろした垂線の足である。
よって、対称性から、 \[\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\dfrac{t+1}3(\vec{b}+\vec{c}-\vec{a})+\vec{a}\] \[\overrightarrow{\mathrm{OS}}=\dfrac{t+1}3(\vec{a}+\vec{b}-\vec{c})+\vec{c}\] である。
\[\begin{aligned} &\overrightarrow{\mathrm{QR}}\\ =&\dfrac{2(t+1)}3(\vec{a}-\vec{b})-(\vec{a}-\vec{b})\\ =&\dfrac{2t-1}3(\vec{a}-\vec{b}) \end{aligned}\] \[\begin{aligned} &\overrightarrow{\mathrm{QS}}\\ =&\dfrac{2t-1}3(\vec{a}-\vec{c}) \end{aligned}\] であり、$|\vec{a}-\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{c}|$から$\mathrm{QR}=\mathrm{QS}$である。同様に、$\mathrm{RQ}=\mathrm{RS}$であるから、$\triangle\mathrm{QRS}$は正三角形である。
(3)
立方体の対角線の交点を$\mathrm{X}$とする。
$\mathrm{PQ}\perp \mathrm{AG}$である。円周角の定理より、三点$\mathrm{P}$、$\mathrm{Q}$、$\mathrm{X}$を含む円は、$\mathrm{PX}$を直径とする。
同様にして、四面体$\mathrm{PQRS}$の外接円は、$\mathrm{PX}$を直径とする球である。
$\mathrm{PX}=\sqrt3\left(\dfrac12-t\right)$であるから、求める半径は\[\dfrac{\sqrt3}2\left(\dfrac12-t\right)\]である。
第3問
(1)
\[\begin{aligned} &f'(x)\\ =&\log(x^2+a)+x\cdot \dfrac{2x}{x^2+a}\\ =&\log(x^2+a)+2-\dfrac{2a}{x^2+a} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} &f^{\prime\prime}(x)\\ =&\dfrac{2x}{x^2+a}+\dfrac{4ax}{(x^2+a)^2}\\ =&\dfrac{2x^3+2ax+4ax}{(x^2+a)^2}\\ =&\dfrac{2x(x^2+3a)}{(x^2+a)^2} \end{aligned}\]
よって、$f'(x)$は$x\geqq 0$で狭義単調増加である。
さらに、$0\lt a \lt1$から、$f'(0)=\log a\lt 0$である。また、$f'(\sqrt{1-a})=2-2a\gt 0$である。
$f'(x)$は連続であるから、中間値の定理より、$f'(x)=0$となる正の$x$がただ1つ存在する。
$f'(-x)=f'(x)$から、$f'(x)=0$となる負の$x$もただ1つ存在する。
(2)
$f(x)$の増減は次のようになる。
| $x$ | $\cdots$ | $-\theta$ | $\cdots$ | $\theta$ | $\cdots$ |
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | $\nearrow$ | $-f(\theta)$ | $\searrow$ | $f(\theta)$ | $\searrow$ |
$x\leqq0$で上に凸、$x\geqq 0$で下に凸。極値は$\pm f(\theta)$。
(3)
$f'(\theta)=0$から、$\log(\theta^2+a)=-\dfrac{2\theta^2}{\theta^2+a}$である。
原点と$(\theta,f(\theta))$を結ぶ直線の式は、$y=\dfrac{f(\theta)}{\theta}x$である。
区間$[0,\theta]$で、$f(x)$は下に凸であり、$f(x)\leqq \dfrac{f(\theta)}{\theta}x$である。
求める面積は \[\begin{aligned} &\int_0^\theta \left\{\dfrac{f(\theta)}{\theta}x-x\log(x^2+a)\right\}dx\\ =&\left[\dfrac{f(\theta)}{2\theta}x^2\right]_0^\theta-\left[\dfrac12(x^2+a)\log(x^2+a)\right]_0^\theta+\int_0^\theta \dfrac12(x^2+a)\cdot \dfrac{2x}{x^2+a}dx\\ =&\dfrac12 \theta^2\log(\theta^2+a)-\dfrac12(\theta^2+a)\log(\theta^2+a)+\dfrac12a\log a+\dfrac12\theta^2\\ =&\dfrac{\theta^2(\theta^2+a)-2a\theta^2}{2(\theta^2+a)}+\dfrac{a\log a}2\\ =&\dfrac{\theta^2(\theta^2-a)}{2(\theta^2+a)}+\dfrac{a\log a}2\\ \end{aligned}\] である。
(4)
実際には、$f'(\theta)=0$に$a=0$を代入して、$\theta=e^{-1}$として終わりなのだろうと思います。
しかし、そのやり方だと、$\displaystyle\lim_{a \to 0}\theta=e^{-1}$を証明していません。このページでは、その証明をやってみます。
$\log(\theta^2+a)+\dfrac{2\theta^2}{\theta^2+a}=0$である。
$0\lt \beta \lt \dfrac{\pi}2$となるただ1つの$\beta$に対し、$\theta=\sqrt{a}\tan\beta$となる。
このとき、 \[\begin{aligned} &\log(\theta^2+a)+\dfrac{2\theta^2}{\theta^2+a}=0\\ &\log a(\tan^2\beta +1)+\dfrac{2a\tan^2\beta}{a(\tan^2\beta +1)}=0\\ &\log \dfrac{a}{\cos^2\beta}+2\tan^2\beta\cos^2\beta=0\\ &\log a-2\log\cos\beta+2\sin^2\beta=0\\ &\dfrac12\log a=\log \dfrac{\cos\beta}{e^{\sin^2\beta}}\\ &\sqrt{a}=\dfrac{\cos\beta}{e^{\sin^2\beta}}=\dfrac{\cos\beta}{e^{1-\cos^2\beta}}=\dfrac{e^{\cos^2\beta}\cos\beta}e \end{aligned}\] となる。
$\cos\beta$は、正の数であり、$\beta$に関し狭義単調減少である。よって、$\dfrac{e^{\cos^2\beta}\cos\beta}e$も、正の数であり、$\beta$に関し狭義単調減少である。
よって、$a\rightarrow+0$のとき、$\beta\rightarrow\dfrac{\pi}2-0$が必要である。
逆に、$\displaystyle \lim_{\beta \to \pi/2-0}\dfrac{e^{\cos^2\beta}\cos\beta}e=0$である。
よって、$a\rightarrow+0 \iff \beta\rightarrow\dfrac{\pi}2-0$。
$\theta=\sqrt{a}\tan\beta=\dfrac{e^{\cos^2\beta}\cos\beta}e\tan\beta=\dfrac{e^{\cos^2\beta}\sin\beta}e$である。
$\displaystyle \lim_{a \to +0}\theta=\lim_{\beta \to \pi/2-0}\theta=e^{-1}$である。
$\displaystyle \lim_{a \to +0}S=\dfrac{e^{-4}}{2e^{-2}}=\dfrac{1}{2e^2}$である。
第4問
現実的には、集まったおまけの種類が重要であって、手に入れた順序は重要でない。しかし、この問題では、$k$回目までに集まったおまけの種類を同様に確からしくするために、おまけを手に入れる順序も区別する。
(1)
$p_{j,j}=\dfrac{j!}{4^j}$
$p_{k,1}=\dfrac{4}{4^k}=\dfrac{1}{4^{k-1}}$
(2)
$\dfrac{j}{4}$
(3)
$p_{k+1,j}=\dfrac{j}{4}p_{k,j}+\dfrac{5-j}{4}p_{k,j-1}$
(4)
$k\geqq 2$とする。
$\ell$を整数($1\leqq \ell\leqq k-1$)とする。
$k$回のうち、ある種類のおまけを$\ell$回、他の1種類のおまけを$k-\ell$回手に入れる確率は、\[{}_kC_{\ell}\left(\dfrac14\right)^{\ell}\left(\dfrac14\right)^{k-\ell}=\dfrac{{}_kC_{\ell}}{4^k}\]である。
\[\begin{aligned} &p_{k,2}\\ =&{}_4C_{2}\sum_{\ell=1}^{k-1}\dfrac{{}_kC_{\ell}}{4^k}\\ =&\dfrac{6}{4^k}\{(1+1)^k-2\}\\ =&\dfrac{3(2^{k-1}-1)}{4^{k-1}} \end{aligned}\]