結論
同一直線上にない異なる3点$(a,b)$、$(c,d)$、$(e,f)$を通る円の式は次のように求められます。
$C_1(x,y)=(x-a)(x-c)+(y-b)(y-d)$、$L_1(x,y)=(b-d)(x-a)-(a-c)(y-b)$とします。
このとき、円の式は$C_1(x,y)-\dfrac{C_1(e,f)}{L_1(e,f)}\cdot L_1(x,y)=0$です。
証明
同一直線上にない3点$(a,b)$、$(c,d)$、$(e,f)$を通る円は、必ず存在します。その円の式のうち、$x^2$や$y^2$の係数が$1$のものを$C(x,y)=0$とします。
$L(x,y)=C(x,y)-C_1(x,y)$とします。方程式$L(x,y)=0$は、左辺が$x$と$y$の$1$次式なので、直線を表します。$L(a,b)=L(c,d)=0$から、この直線は$(a,b)$、$(c,d)$を通ります。
また、方程式$L_1(x,y)=0$も、左辺が$x$と$y$の$1$次式なので、直線を表します。$L_1(a,b)=L_1(c,d)=0$から、この直線は$(a,b)$、$(c,d)$を通ります。
2直線$L(x,y)=0$と$L_1(x,y)=0$は、共通の2点を通るので、同一の直線となります。よって、ある実数$k$に対し、$L(x,y)=kL_1(x,y)$となります。
よって、$C(x,y)=C_1(x,y)+kL_1(x,y)$となります。
$C(e,f)=C_1(e,f)+kL_1(e,f)=0$、$L_1(e,f)\neq0$から$k=-\dfrac{C_1(e,f)}{L_1(e,f)}$となります。
補足
\begin{aligned} &C_1(x,y) \\ ={}& x^2 – (a+c)x + ac + y^2 – (b+d)y + bd \\ ={}& \left( x-\frac{a+c}{2} \right)^2-\left( \frac{a+c}{2} \right)^2+ac+\left( y-\frac{b+d}{2} \right)^2-\left( \dfrac{b+d}{2} \right)^2 + bd \\ ={}& \left( x-\dfrac{a+c}{2} \right)^2-\frac{a^2-2ac+c^2}{4} + \left( y-\dfrac{b+d}{2} \right)^2-\frac{b^2-2bd + d^2}{4} \\ ={}& \left( x-\dfrac{a+c}{2} \right)^2 + \left( y-\frac{b+d}{2} \right)^2-\dfrac{(a-c)^2}{4} – \frac{(b-d)^2}{4} \\ ={}& \left( x-\dfrac{a+c}{2} \right)^2 + \left( y-\frac{b+d}{2} \right)^2-\dfrac{(a-c)^2 + (b-d)^2}{4} \end{aligned}
方程式$C_1(x,y)=0$は、中心$\left( \dfrac{a+c}{2}, \dfrac{b+d}{2} \right)$の円を表す。この中心は、2点$(a,b)$、$(c,d)$の中点。
$C_1(a,b)=C_1(c,d)=0$なので、円$C_1(x,y)=0$は$(a,b)$、$(c,d)$を通る。
円$C_1(x,y)=0$は、$(a,b)$、$(c,d)$を通り、その中点を中心とする円。よって、$(a,b)$、$(c,d)$は、直径の端点となる。