直線の式
傾きが$a$であり、点$(p,q)$を通る直線の式は、次のようになります。\[y=a(x-p)+q\]
この式に$x=p$を代入すると、確かに$y=q$となります。
また、右辺を展開すると、$y=ax-ap+q$です。確かに傾きが$a$です。
この式は、「裏技」ではありません。
例
$(1,3)$、$(7,5)$を通る直線の式を求めなさい。
この直線の傾きは、$\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$です。直線の式は、次のようになります。\[\begin{aligned} y=&\dfrac{1}{3}(x-1)+3\\ =&\dfrac{1}{3}x+\dfrac{8}{3} \end{aligned}\]
次のように求めても構いません。 \[\begin{aligned} y=&\dfrac{1}{3}(x-7)+5\\ =&\dfrac{1}{3}x+\dfrac{8}{3} \end{aligned}\]
教科書の計算方法
$(1,3)$、$(7,5)$を通る直線の式を求めなさい。
この直線の傾きは、$\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$です。よって、ある実数$b$に対し、直線の式は、$y=\dfrac{1}{3}x+b$。
$x=1$のとき$y=3$であるから、\[\begin{aligned} &3=\dfrac{1}{3}+b\\ \iff&b=\dfrac{8}{3} \end{aligned}\]
直線の式は、$y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{8}{3}$となる。
このように直線の式を出すのは、手順が多く面倒です。