三角形の合同条件と相似条件の整理

三角形の合同条件・相似条件

三角形の相似条件

• 3組の辺の比がすべて等しい。
• 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。
• 2組の角がそれぞれ等しい。

三角形の合同条件

• 3組の辺がそれぞれ等しい。
• 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。
• 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。

直角三角形の合同条件

• 斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい。
• 斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。

相似条件「2組の角がそれぞれ等しい。」

三角形の内角の和は$180^\circ$です。

$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{DEF}$について、次の3つが成り立つとします。 \[\begin{cases} \angle\mathrm{A}=\angle\mathrm{D}\\ \angle\mathrm{B}=\angle\mathrm{E}\\ \end{cases}\]

このとき、次の式が成り立ちます。 \[\begin{aligned} \angle\mathrm{C}&=180^\circ-\angle\mathrm{A}-\angle\mathrm{B}\\ &=180^\circ-\angle\mathrm{D}-\angle\mathrm{E}\\ &=\angle\mathrm{F}\\ \end{aligned}\]

したがって、2つの三角形について、次の2つのことが言えます。

• 3組の角がそれぞれ等しいならば、2組の角がそれぞれ等しい。
• 2組の角がそれぞれ等しいならば、3組の角がそれぞれ等しい。

つまり、「2組の角がそれぞれ等しい」と「3組の角がそれぞれ等しい」は同じことを言っているということになります。

相似条件としては、「2組の角がそれぞれ等しい」よりも「3組の角がそれぞれ等しい」の方が分かりやすいと思います。他方、「3組の角がそれぞれ等しい」よりも「2組の角がそれぞれ等しい」の方が角の個数が少ないので、証明するときには便利です。

合同条件は相似条件の一種

合同は、相似比$1:1$の相似です。そのため、合同条件は、次の2つを組み合わせたものになります。

• 相似条件
• 相似比が$1:1$であること

3組の辺がそれぞれ等しい。

$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{DEF}$について、次の3つが成り立つとします。 \[\begin{cases} \mathrm{AB}=\mathrm{DE}\\ \mathrm{BC}=\mathrm{EF}\\ \mathrm{CA}=\mathrm{FD}\\ \end{cases}\]

これは、次の式と同じです。 \[\begin{cases} \mathrm{AB}:\mathrm{DE}=1:1\\ \mathrm{BC}:\mathrm{EF}=1:1\\ \mathrm{CA}:\mathrm{FD}=1:1\\ \end{cases}\]

つまり、$\mathrm{AB}:\mathrm{DE}=\mathrm{BC}:\mathrm{EF}=\mathrm{CA}:\mathrm{FD}=1:1$となります。

$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{DEF}$は、3組の辺の比がすべて等しく、相似比が$1:1$です。

2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。

$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{DEF}$について、次の3つが成り立つとします。 \[\begin{cases} \mathrm{AB}=\mathrm{DE}\\ \mathrm{BC}=\mathrm{EF}\\ \angle\mathrm{B}=\angle\mathrm{E}\\ \end{cases}\]

これは、次の式と同じです。 \[\begin{cases} \mathrm{AB}:\mathrm{DE}=1:1\\ \mathrm{BC}:\mathrm{EF}=1:1\\ \angle\mathrm{B}=\angle\mathrm{E}\\ \end{cases}\]

つまり、 \[\begin{cases} \mathrm{AB}:\mathrm{DE}=\mathrm{BC}:\mathrm{EF}=1:1\\ \angle\mathrm{B}=\angle\mathrm{E}\\ \end{cases}\] です。

$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{DEF}$は、2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しく、相似比が$1:1$です。

1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。

$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{DEF}$について、次の3つが成り立つとします。 \[\begin{cases} \mathrm{AB}=\mathrm{DE}\\ \angle\mathrm{A}=\angle\mathrm{D}\\ \angle\mathrm{B}=\angle\mathrm{E}\\ \end{cases}\]

これは、次の式と同じです。 \[\begin{cases} \mathrm{AB}:\mathrm{DE}=1:1\\ \angle\mathrm{A}=\angle\mathrm{D}\\ \angle\mathrm{B}=\angle\mathrm{E}\\ \end{cases}\]

$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{DEF}$は、2組の角がそれぞれ等しく、相似比が$1:1$です。

合同条件「1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。」の拡張

合同条件「1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。」は、「2組の角と対応する1組の辺がそれぞれ等しい。」にすることができます。

• 2組の角がそれぞれ等しいので、2つの三角形は相似である。
• 1組の辺が等しいので、相似比は1:1である。

両端でない2組の角でもよいということです。

$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{DEF}$について、次の3つが成り立つとします。 \[\begin{cases} \mathrm{AB}=\mathrm{DE}\\ \angle\mathrm{A}=\angle\mathrm{D}\\ \angle\mathrm{C}=\angle\mathrm{F}\\ \end{cases}\]

これは、次の式と同じです。 \[\begin{cases} \mathrm{AB}:\mathrm{DE}=1:1\\ \angle\mathrm{A}=\angle\mathrm{D}\\ \angle\mathrm{C}=\angle\mathrm{F}\\ \end{cases}\]

$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{DEF}$は、相似であり、相似比が$1:1$であるということになります。

「両端の角」

教科書では、「両端の角」と指定しています。おそらく、次のような場合に、「合同」と言ってしまうのを防ぐためだろうと思います。

$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{DEF}$について、次の3つが成り立つとします。 \[\begin{cases} \mathrm{AB}=\mathrm{EF}\\ \angle\mathrm{A}=\angle\mathrm{D}\\ \angle\mathrm{C}=\angle\mathrm{F}\\ \end{cases}\]

この場合、2組の角がそれぞれ等しいので、$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{DEF}$は相似です。

しかし、辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{EF}$は、その相似において対応する辺だとは限りません。

そのため、$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{DEF}$が合同かどうかは分かりません。

「両端の角」と制限しておけば、その2つの角にはさまれた辺が対応することになります。

直角三角形の合同条件は普通の合同条件の一種

合同条件「斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい。」

直角三角形の「斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい。」は、拡張した合同条件「2組の角と対応する1組の辺がそれぞれ等しい。」の一種です。

2つの直角三角形は、1つの鋭角が等しければ、鋭角と直角の2組の角がそれぞれ等しく、相似です。

斜辺は、直角の対辺です。そのため、相似な直角三角形どうしの斜辺は、自動的に対応しています。相似な直角三角形どうしの斜辺が等しいなら、対応する1組の辺が等しいことになり、合同です。

合同条件「斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。」

直角三角形の「斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。」は、普通の合同条件「3組の辺がそれぞれ等しい」の一種とみなせます。

$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{DEF}$について、次の3つが成り立つとします。 \[\begin{cases} \mathrm{AB}=\mathrm{DE}\\ \mathrm{BC}=\mathrm{EF}\\ \angle\mathrm{C}=\angle\mathrm{F}=90^\circ\\ \end{cases}\]

三平方の定理より、次の式が成り立ちます。 \[\begin{aligned} \mathrm{CA}&=\sqrt{\mathrm{AB}^2-\mathrm{BC}^2}\\ &=\sqrt{\mathrm{DE}^2-\mathrm{EF}^2}\\ &=\mathrm{FD}\\ \end{aligned}\]

結局、次の3つが成り立ちます。 \[\begin{cases} \mathrm{AB}=\mathrm{DE}\\ \mathrm{BC}=\mathrm{EF}\\ \mathrm{CA}=\mathrm{FD}\\ \end{cases}\]

したがって、3組の辺がそれぞれ等しくなります。