目次
はじめに
微積分法の初学者が、杉浦光夫先生の『解析入門Ⅰ』(東京大学出版会/第32刷)と『解析入門Ⅱ』(東京大学出版会/第20刷)を1人で読んでいて、悩んだ所を残しておこうと思います。
(分野の名前も分からないのですが、本の「まえがき」に、「本書は解析学の基礎である微積分法を解説したものである。」とあるので、微積分法なのだと思います。)
言うまでもないことですが、「悩んだ」というのは、「テキストが悪い」ということではありません。
なお、このページを書いた時点では、これと高校数学の本以外に微積分法の書籍をほとんど読んだことがありません。この本の「まえがき」を読む限りは、それでも構わないのだろうと思います。
Ⅰp.267 5行目
一方$\Delta$によって生ずるすべての小区間の境界の合併$A$は体積$0$である(中略)から，有界閉区間$I_1$，$\cdots$，$I_m$が存在して(A)をみたす．
「有界閉区間$I_1$，$\cdots$，$I_m$」は、分割$\Delta$による$I$の小区間$I_k (k \in K(\Delta))$とは異なるもののようです。
Ⅰp.335
$\dfrac{1}{4}\left\{g\left(\dfrac{x}{2}\right)+g\left(\dfrac{x+1}{2}\right)\right\}=g(x)$
$g(x)=(\log \varphi (x))^{\prime\prime}$で、引っかかりました。当たり前ですが、$g\left(\dfrac{x}{2}\right)=\left(\log \varphi \left(\dfrac{x}2\right)\right)^{\prime\prime}$です。$\log \varphi \left(\dfrac{x}2\right)+\log \varphi \left(\dfrac{x+1}2\right)=\log \varphi (x) +\log \pi$の両辺を2回(階)微分して出てくる$\dfrac{1}{4}$は、別につける必要があります。
Ⅰp.338
但しこの級数が収束し，$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \mu (x+n)=0$であることを証明する必要がある．
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \mu (x+n)=0$を証明するというところが分かりません。$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} g(x+n)=0$であれば、分かります。
また、級数の収束にについて、これ以降、「級数$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}g(x+n)$は収束する」のような文言がありません。しかし、一応、\[0\lt g(x)\lt\dfrac{1}{12x}-\dfrac{1}{12(x+1)}\]\[\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left\{\dfrac{1}{12(x+n)}-\dfrac{1}{12(x+n+1)}\right\}=\dfrac{1}{12x}\]があるので、級数$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}g(x+n)$が収束するということが分かります。
Ⅰp.339
ウォリスの公式に代入すると
ウォリスの公式を$\dfrac{(2n)!!}{(2n-1)!!\sqrt{n}}=\dfrac{\{(2n)!!\}^2}{(2n)!\sqrt{n}}=\dfrac{2^{2n}(n!)^2}{(2n)!\sqrt{n}}$と変形してから、代入します。
Ⅱp.23
これは行列$f'(a)$および$g'(b)$がそれぞれ$\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m$、$\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}^n$の一次写像として全単射であることを示している。
$f'(a)g'(b)$と$g'(b)f'(a)$が全単射です。
$f'(a)$と$g'(b)$が全射であることは分かります。
仮に、$g'(b)$が単射でなければ、ある$c\neq d\in \mathbb{R}^m$に対し、$g'(b)c=g'(b)d$、$f'(a)g'(b)c=f'(a)g'(b)d$となる。$f'(a)g'(b)=1_m$から、$g'(b)$は単射。同様に$f'(a)$も単射。
Ⅵ命題4.4(p.51)
$\displaystyle \sum_{\ell=1}^{k}\dfrac{\partial (h\circ f)}{\partial u_{\ell}}(\psi(v))\dfrac{\partial u_{\ell}}{\partial v_j}(v)=\sum_{\ell=1}^{k}\dfrac{\partial h}{\partial x_{\ell}}(p)\dfrac{\partial x_{\ell}}{\partial y_j}(p)$
$x_{\ell}:W\cap M\rightarrow \mathbb{R}$
$x_\ell \circ g$は点$v$において$v_j$に関し偏微分可能。$x_{\ell}$は、局所座標$y_j$に関し偏微分可能。 \[\displaystyle \dfrac{\partial u_{\ell}}{\partial v_j}(v)=\dfrac{\partial (x_\ell \circ g)}{\partial v_j}(v)=\dfrac{\partial x_{\ell}}{\partial y_j}(p)\]
Ⅶ命題1.2
\[\sup_{K\in \mathscr{K}(A)}\left\{\int_{K}f^++\int_{k}f^-\right\}=\sup_{K\in \mathscr{K}(A)}\int_{K}f^++\sup_{K\in \mathscr{K}(A)}\int_{K}f^-\]
左辺では、$\displaystyle\int_{K}f^+$と$\displaystyle\int_{K}f^-$に、同じ$K$が入ります。右辺では、$\displaystyle\int_{K}f^+$と$\displaystyle\int_{K}f^-$に、異なる$K$を入れても構いません。左辺の$\{\}$内で$\displaystyle\int_{K}f^+$が大きくなるように$K$を決めると、$\displaystyle\int_{K}f^-$が小さくなるということは起こらないのか、心配しました。
任意の$\varepsilon\gt0$に対し、ある$K^+,K^-\in \mathscr{K}(A)$が存在し、 \[0\leqq\sup_{K\in \mathscr{K}(A)}\int_{K}f^+-\int_{K^+}f^+\lt\dfrac12\varepsilon\] \[0\leqq\sup_{K\in \mathscr{K}(A)}\int_{K}f^- -\int_{K^-}f^-\lt\dfrac12\varepsilon\] となる。
$K^+\cup K^-\in \mathscr{K}(A)$、$f^+,f^-\geqq0$から、 \[\int_{K^+}f^+\leqq\int_{K^+\cup K^-}f^+\leqq\sup_{K\in \mathscr{K}(A)}\int_{K}f^+\] \[\int_{K^-}f^-\leqq\int_{K^+\cup K^-}f^-\leqq\sup_{K\in \mathscr{K}(A)}\int_{K}f^-\] である。
よって、 \[0\leqq\sup_{K\in \mathscr{K}(A)}\int_{K}f^+-\int_{K^+\cup K^-}f^+\lt\dfrac12\varepsilon\] \[0\leqq\sup_{K\in \mathscr{K}(A)}\int_{K}f^- -\int_{K^+\cup K^-}f^-\lt\dfrac12\varepsilon\]
\[0\leqq\sup_{K\in \mathscr{K}(A)}\int_{K}f^++\sup_{K\in \mathscr{K}(A)}\int_{K}f^- -\left(\int_{K^+\cup K^-}f^++\int_{K^+\cup K^-}f^-\right)\lt\varepsilon\] である。結局、引用した数式は正しい。
Ⅶ命題2.3
\[\mathscr{U}_n=\{U_n=U\cap(K_{n+1}^\circ-K_{n-2})|U\in\mathscr{U}\}\]
$\mathscr{U}_n=\{U\cap(K_{n+1}^\circ-K_{n-2})|U\in\mathscr{U}\}$とし、$U_n\in\mathscr{U}_n$とするということ。
Ⅶ命題2.4
$A$は開集合だから$A\cap A^b=\phi$であり、任意の$x\in A$に対し$d(x,A^b)\gt0$である(Ⅳ,(9.2))
Ⅳ(9.7)で$A^b$が閉集合であると言いました。
$x\in A$ならば$x\notin A^b=\overline{A^b}$であるから、(9.2)が出てきます。
Ⅷ(1.10)の直前
(1.6),(1.7)により
$e_i$を第$i$基本ベクトルとする。
\[\displaystyle x=p+U\xi\] \[e_i=U\dfrac{\partial \xi}{\partial x_i}\] \[^tUe_i=\dfrac{\partial \xi}{\partial x_i}\] \[^t(Uの第i行ベクトル)=\dfrac{\partial \xi}{\partial x_i}\] \[u_{ij}=\dfrac{\partial \xi_j}{\partial x_i}\]
Ⅷ(1.23)
$\displaystyle \iiint_B \mathrm{rot} F(x)dx_1dx_2dx_3=\displaystyle \iiint_{B’} \mathrm{rot} \mathscr{F}(x)d\xi_1d\xi_2d\xi_3$
$\displaystyle \iiint_{B’} U\mathrm{rot} \mathscr{F}(x)d\xi_1d\xi_2d\xi_3$