数列が収束するための必要条件
数列$\lbrace a_n \rbrace$について、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n = a$となることを次のように言います。
「正の数$\varepsilon$をどのようにとっても、ある自然数$m$に対し、$n\geqq m$のとき、$|a_n-a|\lt \varepsilon$となる。」
より普通の言葉で説明すると、「$n$がものすごく大きいとき、$a_n$と$a$の差はほとんどない」ということです。「$n$がものすごく大きい」を「$n\geqq m$」と表し、「$a_n$と$a$の差はほとんどない」を「$|a_n-a|\lt \varepsilon$」と表します。
数列$\lbrace a_n \rbrace$が$n\rightarrow \infty$で$a$に収束すると仮定します。任意の正数$\varepsilon$に対し$0\lt b\lt \dfrac{1}{2}\varepsilon$となる$b$があります。ある自然数$m$に対して、自然数$k$、$\ell$が$k\geqq m$、$\ell\geqq m$のとき、次の2つの式が成り立ちます。\[|a_k-a|\lt b\]\[|a_\ell-a|\lt b\]
このとき、\[\begin{aligned}&|a_k-a_\ell|\\=&|(a_k-a)+(a-a_\ell)|\\\leqq& |a_k-a|+|a_\ell-a|\lt 2b\lt \varepsilon\end{aligned}\]となります。
より普通の言葉で説明すると、「数列$\lbrace a_n \rbrace$が収束するなら、$k$と$\ell$がものすごく大きいとき、$a_k$と$a_\ell$の差はほとんどない」ということです。
式にすると、$\displaystyle \lim_{ k,\ell \to \infty } (a_k-a_\ell) = 0$となります。
これは、$k$と$\ell$の差がどんなに大きくても、成り立ちます。例えば、$\ell=2k$としたときには、「$k$がものすごく大きいとき、$a_k$と$a_{2k}$の差はほとんどない」ということになります。
式にすると、$\displaystyle \lim_{ k\to \infty } (a_{2k}-a_k) = 0$となります。
無限級数Σ1/nの発散
$S_n=\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}$とします。
数列$\lbrace S_n \rbrace$が収束するためには、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \left(S_{2n}-S_n\right) = 0$が必要です。
そして、\[\begin{aligned}&S_{2n}-S_n\\=&\sum_{k=n+1}^{2n} \dfrac{1}{k}\gt \dfrac{1}{2n}\times n= \dfrac{1}{2}\end{aligned}\]となります。
したがって、無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n}$は発散します。
参考文献
- 定理3.6必要条件
- 例4(定理5.2の直前)