目次
結論
4次関数$f(x)$に対し、1次方程式$f^{\prime\prime\prime}(x)=0$の解を$x=c$とします。
曲線$y=f(x)$に二重接線が存在するための必要十分条件は、次の3次方程式が異なる3つの実数解を持つことです。 \[f'(x)=f'(c)\cdots①\]
曲線$y=f(x)$の二重接線の接点の$x$座標は、方程式①の実数解のうち、$c$でないものです。その異なる2つの実数解を$a$と$b$とします。
二重接線の式は、$f(x)$を$(x-a)(x-b)$で割った時の余りです。
前置き
実数$a,b(a\lt b)$に対し、平均値の定理から、ある$c(a\lt c \lt b)$が存在し、\[f'(c)(b-a)=f(b)-f(a)\]となります。
$x=a,b$における曲線$y=f(x)$の接線が一致するための必要十分条件は、次の通りです。\[f'(c)=f'(a)=f'(b)\]
接線と接点が1対1に対応する(接線の本数と接点の個数が等しい)ための十分条件
本題
実数$a$、$b$、$c$は、互いに異なるものとします。
また、次の等式が成り立つものとします。 \[f'(c)=f'(a)=f'(b)\]
このとき、次のことを証明します。
- \[f(b)-f(a)=f^{\prime}(c)(b-a)\iff a+b=2c\]
- $a+b=2c\iff f^{\prime\prime\prime}(c)=0$
- $f^{\prime\prime\prime}(c)=0$となる実数$a$、$b$、$c$に対し、$f(x)$を$(x-a)(x-b)$で割ったときの余りを$r_1x +r_2$とします。曲線$y=f(x)$に2点で接する接線の式は、次のようになります。 \[y=r_1x+r_2\]
$f(b)-f(a)=f^{\prime}(c)(b-a)\iff a+b=2c$
3次式$f'(x)-f'(c)$は、$x=a、b、c$で$0$になります。因数定理から、ある実数$p(\neq 0)$に対して、\[f'(x)-f'(c)=p(x-a)(x-b)(x-c)\]となります。
\[\begin{aligned} &\int_a^b(x-a)(x-b)(x-c)dx\\ =&\int_0^{b-a} x(x-b+a)(x-c+a)dx\\ =&\left[\dfrac{1}4x^4+\dfrac{2a-b-c}{3}x^3+\dfrac{1}2(b-a)(c-a)x^2\right]_0^{b-a}\\ =&(b-a)^3\cdot \dfrac{3b-3a+8a-4b-4c+6c-6a}{12}\\ =&\dfrac{1}{12}(b-a)^3(2c-a-b) \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} &f(b)-f(a)=f^{\prime}(c)(b-a)\\ \iff&\int_a^b f'(x) dx=\int_a^b f'(c) dx\\ \iff&\int_a^b \{f'(x)-f'(c)\} dx=0\\ \iff&\int_a^bp(x-a)(x-b)(x-c)dx=0\\ \iff&\int_a^b(x-a)(x-b)(x-c)dx=0\\ \iff&\dfrac{1}{12}(b-a)^3(2c-a-b)=0\\ \iff&a+b=2c \end{aligned}\]
「$a+b=2c\implies f^{\prime\prime\prime}(c)=0$」の証明
$f'(x)=p(x-a)(x-b)(x-c)+f'(c)$から、 \[\begin{aligned} &f^{\prime\prime}(x)\\ =&p\{3x^2-2(a+b+c)x+ab+bc+ca\}\\ =&p(3x^2-6cx+ab+bc+ca)\\ \end{aligned}\] \[\begin{aligned} &f^{\prime\prime\prime}(x)\\ =&p(6x-6c)\\ =&6p\left(x-c\right)\\ \end{aligned}\]
よって、$f^{\prime\prime\prime}(c)=0$です。
「$f^{\prime\prime\prime}(c)=0\implies a+b=2c$」の証明
$f^{\prime\prime\prime}(c)=0$のとき、$f'(x)$の$x^2$の係数は$x^3$の係数を$-3c$倍したものです。
3次方程式の解と係数の関係より、3次方程式$f'(x)=f'(c)$の3つの異なる解$a$、$b$、$c$は、$a+b+c=3c$となります。
よって、$a+b=2c$です。
$y=r_1x+r_2$
$a+b=2c$です。
$a\neq c$から、$a$と$b$の一方は$c$より大きく、他方は$c$より小さくなります。$a\lt c \lt b$とします。
また、$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$です。
よって、次のようになります。 \[\begin{cases} a\lt c \lt b\\ f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\\ f'(c)=f'(a)=f'(b)\\ \end{cases}\]
$x=a,b$における接線は、一致します。この接線は、$(a,f(a))$と$(b.f(b))$を通る直線です。
$f(a)=r_1a +r_2$、$f(b)=r_1b+r_2$から、その直線の式は 次のようになります。 \[y=r_1x+r_2\]
補足
$f(x)$を$(x-a)(x-b)$で割った時の商は$(x-a)(x-b)$の実数倍になります。
また、 \[\begin{aligned} f(x)&=s(x^2+tx+u)^2+vx+w\\ &=s\{x^4+2tx^3+(t^2+2u)x^2+2tux+u^2\}+vx+w\\ \end{aligned}\]を満たす組$(s,t,u,v,w)$は1つしかありません。
そのため、この組を1つ見つけて、$t^2-4u\gt 0$ならば、$y=vx+w$が接線の式になります。
北海道大学(理系)数学2014年第1問
\[\begin{aligned} f(x)&=x^4-4x^3-8x^2\\ &=(x^2-2x-6)^2-24x-36\\ \end{aligned}\]
$f'(x)=4x^3-12x^2-16x$
$f^{\prime\prime\prime}(x)=24x-24=24(x-1)$
$f'(1)=-24$
よって、接点の$x$座標は次の方程式の$1$でない実数解です。 \[\begin{aligned} &f^{\prime}(x)=-24\\ &4x^3-12x^2-16x+24=0\\ &(x-1)(x^2-2x-6)=0\\ &x^2-2x-6=0 \end{aligned}\]
求める式は、$y=-24x-36$です。他に、2点で接する接線は存在しません。