定積分の連続性
- $I$は実数の区間。
- $f$は区間$I$に含まれるどの区間でも積分できる。
- $f$に$I$の範囲内の実数を代入すると、実数の値が返ってくる。
- 大きい正数$C$を用いて、任意の$t \in I$に対し$|f(t)|\lt C$とすることができる。
このとき、$x,a \in I$として、$x$の関数$\displaystyle \int_a^x f(t)dt$は$I$で連続。
証明
\begin{eqnarray} \left|\int_a^x f(t)dt-\int_a^y f(t)dt\right|&=&\left|\int_y^x f(t)dt\right|\\ &\leqq&\left|\int_y^x |f(t)|dt\right|\\ &\lt&\left|\int_y^x Cdt\right|\\ &=&C|x-y|\\ \end{eqnarray}
よって、$x$と$y$の差がものすごく小さいなら、$\displaystyle\int_a^x f(t)dt$と$\displaystyle\int_a^y f(t)dt$の差もものすごく小さい。
逆関数の連続性
- $I$、$J$は$\mathbb{R}$の開区間。
- $f:I\rightarrow J$は、$I$で連続で、全単射。
このとき、$f^{-1}:J\rightarrow I$は$J$で連続。
狭義単調
$a$、$b$、$c\in I$は$a< b < c$とする。
$f$は単射なので、$f(a)$、$f(b)$、$f(c)$は互いに異なる。
- 仮に$f(a)\lt f(b)\gt f(c)$とする。
- $f(a)\lt f(c) \lt f(b)$とすると、中間値の定理より、ある$d(a\lt d \lt b)$に対し、$f(d)=f(c)$となる。これは$f$が単射であることに矛盾する。
- $f(c)\lt f(a) \lt f(b)$としても矛盾する。
- $f(a)\gt f(b)\lt f(c)$も矛盾する。
よって、次のようになる。
- $f(a)\lt f(b)\implies f(b)\lt f(c)$
- $f(a)>f(b) \implies f(b)>f(c)$
結局、$f(a)\lt f(b)\lt f(c)$または$f(a)>f(b)>f(c)$である。
連続性
$f$を狭義単調増加とする。また、$s\in I$、$t=f(s)$とする。
ものすごく小さい$\varepsilon \gt 0$を用いて、区間$(s-\varepsilon,s+\varepsilon)$が$I$に含まれるようにとる。
$f$は連続で狭義単調増加なので、$f(s-\varepsilon)\lt t \lt f(s+\varepsilon)$となる。
よって、$t$にものすごく近い$y$をとると、$f(s-\varepsilon)\lt y \lt f(s+\varepsilon)$となる。
\begin{eqnarray} &&f(s-\varepsilon)\lt y \lt f(s+\varepsilon)\\ &\iff&s-\varepsilon\lt f^{-1}(y) \lt s+\varepsilon\\ &\iff&f^{-1}(t)-\varepsilon\lt f^{-1}(y)\lt f^{-1}(t)+\varepsilon\\ &\iff&|f^{-1}(y)-f^{-1}(t)|\lt \varepsilon \end{eqnarray}
よって、$y$と$t$の差がものすごく小さいなら、$f^{-1}(y)$と$f^{-1}(t)$の差もものすごく小さい。
狭義単調減少のときも、同様。