目次
第1問
(1)
$41\times 3+3=126$
(2)
$41\times 40+40=1680$
(3)
$41$で割ったときの商と余りが等しい自然数のうち、3桁であるものは、次の通りである。 \[41\times 3+3\] \[41\times 4+4\] \[\vdots\] \[41\times 23+23\]
これらの和を$41$で割った時の余りは、$3+4+\cdots +23=273$を$41$で割った時の余り$27$である。
第2問
(1)
$11+9+7+5+3+1=36$
(2)
偶数秒から奇数秒になるときに段が上がる。
$50$番目の奇数は$99$。
(3)
$n$番目の奇数秒の個数は$n^2$である。
$44^2\lt 2022 \lt 45^2=2025$から、$88$秒以降である。
$88$秒の時点で$44$段あるから、$89$秒になるときに$45$個増える。
したがって、$88$秒での個数は、$2025-45=1980$となり不適。
よって、$89$秒後。
第3問
(1)
省略
(2)
カ、ア、ウの面積をそれぞれ$x$、$y$、$z$とする。
表面積は、$2x+2y+2z$である。
\[x+2y+2z=402\] \[2x+y+2z=369\] \[2x+2y+z=314\]
\[5x+5y=5z=1085\] \[2x+2y+2z=434\]
$x=434-402=32$
$z=434-314=120$
$\dfrac{y}{z}=\dfrac4{15}$
第4問
(1)
省略
(2)
$\triangle\mathrm{AEC}=\triangle\mathrm{BDE}=\dfrac{21}2\mathrm{cm}^2$
第5問
(1)
半量になるまでの時間と半量になってから時間の比は、$2:3$である。
求める時間は、$\dfrac25x$分。
(2)
水槽Aは、平均$120$L/分の割合で水が入る。
水槽Bには、$25$分後に$3700$Lの水がある。
平均の速さで考えると、水槽Aには、$25$分後に$3000$Lの水がある。
差は$700$Lである。
この差は、Aの平均の速さとBの速さの差を考えると、$25$分後から$50$L/分の速さで縮まる。$25$分後から$\dfrac{700}{50}=14$分後、つまり最初から$39$分後には、AとBの水量が等しくなる。
その後は、現実でもAの方が速く水がたまるから、AとBの水量が等しくなることはない。
したがって、水槽AとBが同時に満水になった時刻は39分後である。$x=\dfrac{78}{5}$。
最初から$\dfrac{78}{5}$分後のAとBの水量の差は、\[A-B=50\times 10-30\times\dfrac{28}5=332\mathrm{L}\]
これ以後、25分後まで水量の差は80L/分の速さで縮まる。$\dfrac{78}{5}$分後から$\dfrac{332}{80}=\dfrac{83}{20}$分後、つまり、最初$19\dfrac{3}{4}$分後にAとBの水量が等しくなる。
第6問
(1)
上から$m$枚目のカードは、シャッフルによって、上から$n$枚目に移るとする。その規則は、次のとおりである。
| $m$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| ↓ | ↓ | ↓ | ↓ | ↓ | ↓ | |
| $n$ | 1 | 3 | 5 | 2 | 4 | 6 |
4回シャッフルすると同じ場所に戻る。
(2)
$7$が$k$番目にあるとする。
$k\leqq 10$のとき、$7$は$2k-1$番目にある。
$k\geqq 11$のとき、$7$は$2k-20$の位置にある。
この作業を10回繰り返すと、8番目と分かる。
補足
東京大学理系2002年第6問と同じような問題
一番上のカードと一番下のカードは動かないので、別の所に放置しておく。
その2枚を除いた後、カードが$2n$枚あるとする。
$1\leqq k \leqq n$のとき、$k$番目のカードは$2k$番目に移る。
$n+1\leqq k \leqq 2n$のとき、$k$番目のカードは、$2(k-n)-1$番目に移る。
$2(k-n)-1=2k-(2n+1)$である。
よって、$k$番目のカードは、$2k$を$2n+1$で割った時の余りの所に移動する。
$m$回切ると、$2^mk$を$2n+1$で割った時の余りの所に移動する。
(1)
$m$回切った時に$k$番目のカードが元の位置に戻るとすると、$2^mk-k=k(2^m-1)$が$2n+1$の倍数になる。
(1)では$n=2$であるから、$2^m-1$が5の倍数となればよい。よって、$m=4$となる。
(2)
$n=9$、$k=6$、$m=10$である。
答えは、$2^{10}\times 6$を$19$で割った時の余りに$1$(別の所に放置していたもの)を足したものになる。