目次
第1問
$n$番目は、$\dfrac{1}{n(n+1)}$である。
(1)
$n=10$から、$\dfrac{1}{10\times 11}=\dfrac{1}{110}$である。
(2)
$n(n+1)\gt 2024$となる最小の$n$を求めればよい。
$40\times 41=1640$、$49\times 50=2450$から、$41\leqq n\leqq 48$を適当に代入していく。
(3)
$\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$である。
\[\begin{aligned} &\dfrac{1}{1\times2}=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}\\ &\dfrac{1}{2\times3}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\\ &\vdots\\ &\dfrac{1}{99\times100}=\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\\ &\dfrac{1}{100\times101}=\dfrac{1}{100}-\dfrac{1}{101} \end{aligned}\]
よって、和は$1-\dfrac{1}{101}=\dfrac{100}{101}$である。
第2問
(1)
$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55$
(2)①
上から見える部分の面積は、最下段の立方体を上から見た部分の面積に等しいので、$n^2$。
正面から見える面積は、$1+2+3+\cdots n=\dfrac{n(n+1)}2$である。
求める面積は次のようになる。 \[n^2+4\times\dfrac{n(n+1)}2=3n^2+2n\]
(2)②
側面の面積の差は、2番目→4番目→6番目→$\cdots$と2段増えるごとに、4ずつ増えていく。よって、側面の面積の差は、次のようになる。 \[4\times (2012-1)+4=4048\]
上から見たときの黒い部分と白い部分の面積の差は、次のようになる。
- 上から2段目と１段目の差は2
- 上から4段目と3段目の差も2
- 上から6段目と5段目の差も2
- 上から2024段目と2013段目の差も2
上から見たときの面積の差は$2\times 1012=2024$。
求める差は$4048+2024=6072$。
第3問
(1)
台形ABEDと三角形CDEの高さは等しいから、$(\mathrm{BE}+\mathrm{AD}):\mathrm{CE}=5:6$。
$\mathrm{BE}=3$から、$\mathrm{BC}=15$。
(2)
$\mathrm{EK}=\mathrm{EH}+\mathrm{HK}=16$
また、$\mathrm{HI}-\mathrm{GH}=2$から、左下の正方形の1辺の長さは7、右下の正方形の1辺の長さは9である。
直線AD、JK、IJ、EFで大きな長方形を作ると、横の長さが16、縦の長さが17になる。
よって、求める面積は、次のようになる。 \[16\times 17-10\times 15\div2-2\times16\div2-6\times 17\div2=130\]
第4問
(1)
\[(180-24)\div 2=78\](2)
Qが線分OP上にあればよい。
QはPよりも毎秒18°ずつ速く回るので、180°の差がつくのは10秒後。
(3)
6と15($=360\div 24$)と90の公倍数は、90の倍数。
90秒ごとにP、Q、Rの3点が同時に最初の位置に戻る。
答えは、90の倍数のうち負でないもの。
第5問
(1)
「9つの数字」から8つの数を選んで足すとき、最大値は$-1+0+1+\cdots+6=20$。
$A+B+\cdots+H=20$から、$A,B,\cdots,H\neq -2$。よって、$I=-2$。
$B+D+F+H=7$である。
(3)
$I$を含まない4つの円の2数の組み合わせは、次の4組。 \[(-1,6),(0,5),(1,4),(2,3)\]
この4組から1つずつ数を取り出して和が7になるようにすると次のようになる。 \[B=-1,D=1、F=2.H=5\]
第6問
①を行いうる最小の整数は3である。3以上の自然数を3倍して1を足すと、10以上となる。①によって、9以下の数になることはない。
したがって、①②の計算によって生じる9以下の整数の直前の数は偶数である。
1から逆算すると、1、2、4、8以外の数に①②を行うと、最後の5数は1←2←4←8←16となる。
(1)
16の直前の数は5または32である。
よって、太郎の誕生日は3月2日か3月29日。
(2)
10月20日から3月31日までで和が最も大きくなるのは12月31日の和43である。逆算して8番目の数は43以下でなければならない。
- 1←2←4←8←16←5←10←3
- 1←2←4←8←16←5←10←20
- 1←2←4←8←16←32←64←21
3つ目について、32は3で割って1余る数ではないので、32の直前は64である。また、8番目の数は43以下であるから、64を2倍してはならない。
10月の和の最小値が10月20日の30であることに注意すると、求める日付は次のようになる。
- 和が3になるのは1月と2月の2通り。
- 和が20になるのは、11月から3月まで5通り。
- 和が21になるのは、11月から3月まで5通り。