目次
第1問
(1)
$2023$を$5$で割ると、商$404$、余り$3$。
よって、$2023$は、第$405$段の第$407$列にある。
(2)
$c\geqq 5$のとき、第$c$列の自然数の小さい方から$3$つ目は、$5c-12$である。
これは、第$c$列の$5$つの自然数の平均である。
\[5(5c-12)=6565\] \[5c-12=1313\] \[c=265\]
(3)
第$d$列と第$d+1$列の10個の自然数の和は、次のようになる。 \[5(5d-12)+5\{5(d+1)-12\}=50(d-2)+5\]
これが$2023$より大きくなるから、$d\geqq 43$。
第2問
偶数段目は、白と黒の個数が等しい。奇数段目は、白よりも黒の方が1個多い。
(1)
板の個数は、全部で$\dfrac{8\times 9}{2}=36$個である。
また、$8$以下の正の奇数は4つある。
よって、白は$\dfrac{36-4}{2}=16$個ある。
(2)
板の個数は、全部で$\dfrac{41\times 42}{2}=861$個である。
また、$41$以下の正の奇数は21個ある。
よって、白は$\dfrac{861-21}{2}=420$個ある。
(3)
$89$段目までの板の枚数は、$4005$個。
$89$以下の正の奇数は、$45$個あるから、黒の個数は次のようになる。 \[\dfrac{4005-45}2+45=2025\]
$2023$個を超えているから、不適。
黒の枚数を$2$個以上減らせばよいから、最大で$88$段になる。
補足
$n$段目までの黒の個数を求める。
$n$が偶数のとき \[\begin{aligned} &\dfrac12\left\{\dfrac{n(n+1)}2-\dfrac{n}2\right\}+\dfrac{n}2 \\ =&\dfrac{n(n+2)}4 \end{aligned}\]
$n$が奇数のとき \[\begin{aligned} &\dfrac12\left\{\dfrac{n(n+1)}2-\dfrac{n+1}2\right\}+\dfrac{n+1}2 \\ =&\dfrac{n^2+2n+1}4\\ =&\dfrac{(n+1)^2}4\\ \end{aligned}\]
第3問
(1)
辺BC、CD、DE、EA上で、線分の両端となっている点をそれぞれP、Q、R、Sとする。
$\angle\mathrm{C}=\angle\mathrm{D}=108^\circ$であるから、\[\angle\mathrm{CPR}+\angle\mathrm{DRP}=360^\circ-108^\circ\times 2=144^\circ\]
四角形PCDRと四角形QDESは合同なので、$\angle\mathrm{CPR}=\angle\mathrm{DQS}$。
よって、$\angle\mathrm{DQS}+\angle\mathrm{DRP}=144^\circ$
$x=180^\circ-(360^\circ-108^\circ-144^\circ)=72^\circ$
(2)
アの縦、横の長さをそれぞれ$a$cm、$b$cmとする。
イの縦、横の長さをそれぞれ$c$cm、$d$cmとする。
BDを斜辺とする直角三角形とADを斜辺とする直角三角形は相似である。 \[4:a=b:x\] \[ab=4x=アの面積\]
CEを斜辺とする直角三角形とACを斜辺とする直角三角形は相似である。 \[2:c=d:(x+3)\] \[cd=2(x+3)=イの面積\]
$4x+2(x+3)=33$から、$x=\dfrac{9}{2}$cm。
第4問
(1)
休憩と修理の時間は合わせて1時間である。移動時間は5時間10分。
仮に、5時間10分を12km/時で移動すると、道のりは$62$kmとなる。これは、猪苗代湖の周より6km長い。
5時間10分の中で歩く時間が1時間増えるごとに、移動する道のりは8kmずつ減る。
よって、歩いた時間は、$\dfrac{6}{8}=\dfrac34時間$であり、その道のりは3kmである。
自転車で移動した道のりは、$56-3=53$kmである。
(2)
親子は、同じ向きで進むとき、時速27kmの速さで近づく。
反対の向きで進むとき、時速57kmの速さで近づく。
$27:57=9:19$
よって、太郎が$56\times\dfrac{9}{28}=18$km地点にいるときに母が出発すれば、どちら向きでも同じ時間で会うことになる。
よって、求める時刻は$\dfrac{18}{15}時間=1時間12分後$である。
第5問
省略第6問
(1)
カッコの値は5。
$a=1,11$
(2)
上・下のカッコの値をそれぞれ$x$、$y$とする。
$x$は正の整数である。よって、$b$は18の約数でも倍数でもない。
$y$は正の整数である。$b$は3の倍数・倍数でも18の約数でもない。よって、次のようになる。\[b\geqq 4\]\[y=1,2\]
$y\lt3より、$$x-y=3$である。よって、$(x,y)=(4,1),(5,2)$。
$(x,y)=(4,1)$とする。$4\leqq b\leqq 17$のとき、$b$は、$18-4=14$の約数であり、$3$で割って$1$余る整数、つまり$7$である。
$19\leqq b\leqq 50$のとき、$b$は$18$で割って$4$余る数である($18$で割って$4$余る数を$3$で割ると$1$余る)。よって、$b=22,40$。
$(x,y)=(5,2)$とする。$4\leqq b\leqq 17$のとき、$b$は、$18-5=13$の約数であり、$3$で割って$2$余る整数である。存在しない。
$19\leqq b\leqq 50$のとき、$b$は$18$で割って$5$余る数である($18$で割って$5$余る数を$3$で割ると$2$余る)。よって、$b=23,41$。
結局、$b=7,22,23,40,41$である。