目次
第1問
$k$を自然数とする。
- $3k-2$番目は、$2(2k-1)-1=4k-3$。
- $3k-1$番目は、$2\times 2k-1=4k-1$。
- $3k$番目は、$2k$。
(1)
$31=3\times 11-2$であるから、求める数は$4\times 11-3=41$。
(2)
$225=4\times 57-3$であるから、$3\times 57-2=169$番目。
(3)
$3k-2$番目、$3l-1$番目、$3k$番目の和は、$10k-4$。
よって、$3k$番目までの和は次のようになる。 \[\dfrac12k(6+10k-4)=k(5k+1)\]
$k(5k+1)\leqq 2025$を満たす最大の$k$は$20$。$60$番目までの和は$2020$となる。
61番目の奇数は5より大きいので、答えは61番目。
第2問
ア、イの枚数をそれぞれ$x$枚、$y$枚とする。 \[x+2y=n^2\] つまり、$x=n^2-2y$である。
$0\leqq y\leqq \dfrac{n^2}2$となる$y$1つに対し、$x$が1つずつ存在する。
$n$が奇数のとき、$0\leqq y \leqq \dfrac{n^2-1}2$から$\dfrac{n^2+1}2$通り。
$n$が偶数のとき、$0\leqq y \leqq \dfrac{n^2}2$から$\dfrac{n^2+2}2$通り。
(2)
不等式$\dfrac{n^2+1}2> 1019$を解くと、$n\geqq 46$。
(3)
$x+2y=n^2$に$x=y$を代入する。 \[3x=n^2\]
$n^2$は3の倍数。$3$は素数なので、$n$は3の倍数である。
$n=3\times 675$である。
$3x=(3\times 675)^2$から$x=1366875$。
第3問
第4問
(1)
はるとの前半での勝ち数が$1$回増えると、後半での勝ち数が$2$増える。Pの進んだ長さが増えて、Qの進んだ長さが短くなり、差は$26\mathrm{cm}$変化する。
- あいこは、$2$回とも前半とする。はるとが残りの$37$回で負けたとすると、差は$151\mathrm{cm}$。したがって、差を$158\mathrm{cm}$変化させればよいが、$158$は$26$の倍数ではない。
- あいこは、前半と後半に$1$回ずつとする。はるとが残りの$37$回で負けたとすると、差は$149\mathrm{cm}$。したがって、差を$156\mathrm{cm}$変化させればよい。 \[156\div 26=6\] よって、前半に$6$回、後半に$12$回勝てばよい。
- あいこは、後半に$2$回とする。はるとが残りの$37$回で負けたとすると、差は$147\mathrm{cm}$。したがって、差を$154\mathrm{cm}$変化させればよいが、$154$は$26$の倍数ではない。
よって、はるとは、前半に$6$回勝ち$12$回負け、後半に$12$回勝ち$7$回負ける。
(2)
PがAから進んだ長さは、$+12\mathrm{cm}$。\[\triangle \mathrm{APD}=2\mathrm{cm}^2\]
QがCから進んだ長さは、$+15\mathrm{cm}$。\[\triangle \mathrm{BQC}=3\mathrm{cm}^2\]
第5問
(1)
縞の色の並びは、最初から考えると、次の4通り。
- $0,0,0,\cdots$
- $0,1,1,0,1,1,\cdots$
- $1,0,1,1,0,1,\cdots$
- $1,1,0,1,1,0,\cdots$
下の3つは、$0,1,1$の繰り返し。
(2)
1晩目から8番目までは$1,1,2,3,1,0,1,1$となる。よって、1番目から$1,1,2,3,1,0$を5回繰り返し、30番目になる。
31番目から40番目までは、$1,1,2,0,2,2,1,0,1,1$となる。よって、31番目から$1,1,2,0,2,2,1,0$を4回繰り返し、62番目になる。
63番目と64番目は共に1であるから、数列の周期は62である。
- $100=62+30+8$から、100番目は0。
- $200=62\times 4+6\times 2+2$から、200番目は1。
- $300=62\times 4+30+8\times 2+6$から。300番目は2。
第6問
(1)
- Bは、$a$が9の倍数だと言っている。
- Dは、$a$が3の倍数であるが9の倍数ではないと言っている。
したがって、BかDの一方が間違っている。
- Bが間違っている場合、$a$は$2^3\times 3\times 7=168$の倍数。
- $168$の各桁の和は$15$。
- $168\times 2=336$の各桁の和は$12$。
- $168\times 3=504>400$
- Dが間違っている場合、$a$は$2^3\times 3^2\times 7=504$の倍数であり、$a>400$。
$a=168$
(2)
- Gは、$b$が$90$の倍数だと言っている。
- Hは、$b$が$7$の倍数だと言っている。
この2つが正しいなら、$b$が$630$の倍数となり、$b\leqq400$に反する。よって、GかHが間違っている。
Fは、$b$と$594$の最大公約数は約数が$8$個あると言っている。
$594=2\times 3^3\times 11$から、最大公約数の候補は次の3つ。
- $2\times 3\times 11=66$($b$は$66$の倍数であるが、$9$の倍数ではない)
- $2\times 3^3=54$($b$は$54$の倍数であるが、$11$の倍数ではない)
- $3^3\times 11=99$($b$は$99$の倍数であるが、$2$の倍数ではない)
Gが間違っているなら、$b$は7の倍数である。
- $66$と$7$の公倍数で$400$以下のものはない。
- $54$と$7$の公倍数で$400$以下のものは$2\times3^3\times 7=378$。
- $99$と$7$の公倍数で$400$以下のものはない。
$2\times3^3\times 7$の約数は小さい方から、$1,2,3,6,7,9,14,18\cdots$となり、$8$番目の約数は$21$でない。
Hが間違っているなら、Gは$b$が$2$の倍数であり$9$の倍数であると言っているから、$b$と$594$の最大公約数は54である。
また、Gは$b$が$5$の倍数だとも言っているので、$b$は$54\times 5=270$の倍数となる。
$b\leqq 400$から$b=270=2\times 3^3\times 5$。これはEの発言にも合う。
結局、$b=270$。